En este apartado estudiaré la solución de un problema de conteo mediante un manipulador algebraico o simbólico, el Derive, el cual permite realizar operaciones algebraicas que resulta tedioso realizarlas con lápiz y papel
PROBLEMA: ¿Cuántos números menores de 1000 y de tres cifras cumplen que la suma de sus cifras sea 10, esto es cumplan que x + y + z = 10
SOLUCIÓN:
Como las soluciones de la ecuación x + y + z = 10 son unas cifras cualesquiera x, y, z pueden tomar cualquier valor entero de 0 a 9 ( en este caso los valores de x, y o z, por ejemplo, x, puede tomar el valor 9 , ya que y, z tomarían las dos el valor 0) por lo tanto, las variables sólo pueden tomar los valores:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9.
Utilizaremos el álgebra para contar el número de sumas posibles que se pueden hacer con esas cifras para ello utilizaremos el polinomio: 1+ x + x2 + x 3+ x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 o, con más precisión, los exponentes del mismo. Como en este caso interviene el 0, hade aparecer el monomio de grado 0, es decir, una constante, el 1. Teniendo en cuenta lo siguiente:
De los 103 = 1000 productos que resultan al calcular:
(1+ x + x2 + x 3+ x4 + x5 + x6 + x7 + x8+ x9 )3
Reduciendo términos semejantes, calculando con Derive, resulta que los 1000 productos se reducen al polinomio:
(1 + x + x 2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x 7 + x8 + x9 )3 = x27+ 3·x26+ 6·x25+ 10·x24+ 15·x23+ 21·x22+ 28·x21+ 36·x20+ 45·x19+ 55·x18+ +63·x17+ 69·x16+ 73·x15+ 75·x14+ 75·x13+ 73·x12+ 69·x11+ 63·x10+ 55·x9+ 45·x8+ 36·x7+ 28·x6+ 21·x5+ 15·x4 + 10·x3 + 6·x2 + 3·x + 1
Observemos que la potencia x 27, que tiene coeficiente unidad, se obtiene de una sola manera: x9· x9· x9; igualmente, la potencia 3x26, que tiene coeficiente tres, se obtiene de tres maneras diferentes:
x9· x9· x8, x8· x9· x8 y x8· x8· x9.
Igualmente, 6·x25 nos indica que 25 se obtiene de seis formas distintas:
x9· x9· x7, x9· x7· x9, x7· x9· x9, x8· x8· x9, x8· x9· x8, x8· x8· x9
y el coeficiente 6 indica el número de productos que tan lugar a la potencia.
Por consiguiente: 63·x10 significa que la suma 10 se puede obtener de 63 formas diferentes, lo que equivale a que la ecuación:
x + y + z = 10 tiene 63 soluciones enteras no nulas diferentes.
A este resultado habrá que descontarle las que empiezan por cero y suman 10. para ello observemos que los números de tres cifras cuyas cifras suman 10, sólo pueden tener como cifra nula el cero inicial, ya que la mayor cifra es 9 y las cifras del número deben sumar 10), por lo tanto, los números serán:
019, 028, 037, 046 , 055, 064, 073, 082, 091
es decir, hay nueve números de tres cifras cuyas cifras suman 10 (en realidad son 9 números de dos cifras no nulas cuyas cifras suman 10).
Por lo tanto, habrá 63 – 9 = 54, números de tres cifras no nulas cuyas cifras sumen 10.
