LOS RECURSOS QUE PROPORCIONA EL ÁLGEBRA A LA ARITMÉTICA.

Hay problemas de aritmética verdaderamente laboriosos ¿Cuántos números de cuatro cifras hay tales que la suma de sus cifras sea 27?, son muchos, 219 y no se obtiene con una fórmula sola fórmula combinatoria; generalmente se analizan diferentes combinaciones de cuatro cifras. En estos casos, con el uso del álgebra y la potencia generalizadora de sus métodos, podemos automatizar el cálculo y mucho más disponiendo los manipuladores algebraicos como MapleV, Mathematica, Matlab, Derive, Maxima y otros.

Para introducir el método algebraico pondremos dos ejemplos y utilizaremos un método llamado de funciones generatrices.

Ejemplo 1: Si queremos conocer cuántas soluciones enteras positivas y NO NULAS tiene la ecuación: x + y + z = 10 razonaremos así:

Como las soluciones de la ecuación deben ser positivas y no nulas x, y, z no pueden ser 0, ni tampoco 9, ya que si, por ejemplo, x fuera 9 como y, z deben ser no nulas, la suma de las tres sería mayor que 10, por lo tanto, las variables e, y, z sólo pueden tomar los valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Utilizaremos el álgebra para contar el número de sumas posibles que se pueden hacer con esas cifras para ello utilizaremos el polinomio en una variable cuyos exponentes son las cifras posibles:  x + x² + x ³+ x⁴ + x⁵ + x⁶ + x⁷ + x⁸, elevado al cubo (las tres incógnitas de la ecuación)  y desarrollaremos:

(x + x² + x ³+ x⁴ + x⁵ + x⁶ + x⁷ + x⁸)³

Teniendo en cuenta lo siguiente: De los 8³ = 512 productos que resultan al calcular  (x + x² + x ³+ x⁴ + x⁵ + x⁶ + x⁷ + x⁸)³,  reduciendo términos semejantes, calculando con Derive,  resulta que los 512 productos se reducen al polinomio:

(x + x² + x ³+ x⁴ + x⁵ + x⁶ + x⁷ + x⁸)³ = x²⁴+ 3·x ²³+ 6·x²²+ 10·x²¹ + 15·x²⁰+ 21·x¹⁹+ 28·x¹⁸ + 36·x¹⁷ + 42·x¹⁶+ 46·x¹⁵+ 48·x¹⁴+ 48·x¹³+ 46·x¹²+ 42·x¹¹+ 36·x¹⁰+ 28·x⁹+ 21·x⁸+ 15·x⁷+ 10·x⁶+ 6·x⁵+ 3·x⁴ + x³

De los 22 monomios que tiene el desarrollo obtenidos con el manipulador algebraico, cada uno de ellos tiene un significado claro que es el siguiente:

La potencia x ²⁴, que tiene coeficiente uno, se obtiene de una sola manera x⁸· x⁸· x⁸, la potencia  3x²³, que tiene coeficiente tres, se obtiene de tres maneras x⁷· x⁸· x⁸,  x⁸· x⁷· x⁸,  x⁸· x⁸· x⁷. Igualmente   6·x²²nos indica que 22 se obtiene de seis formas distintas:

x⁸· x⁸· x⁶,    x⁸· x⁸· x⁶,    x⁶· x⁸· x⁸,     x⁸· x⁷· x⁷,     x⁷· x⁸· x⁷,    x⁷· x⁷· x⁸

El coeficiente de cada monomio indica el número de productos que tan lugar a la potencia, por consiguiente:  36·x¹⁰   significa que la suma 10 se puede obtener de 36 formas diferentes y significa que la ecuación x + y + z = 10  tiene 36 soluciones enteras no nulas diferentes.

Ejemplo 2: Con las diez cifras ¿cuantos números de dos cifras se pueden formar?

Aunque la solución es sencilla, trivialmente, se sabe que son del 10 al 99, es decir habrá 99 – 9 = 90 números, Aplicaremos el método anterior de funciones generatrices:

Las cifras con las que se forman los números son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y. de ellas, tomaremos dos, por tanto, trabajaremos con la función P(x) = (1 + x + x ²+ x³ + x⁴ + x ⁵+ x⁶ + x⁷ + x⁸ + x⁹ )², desarrollando. La suma de sus cifras varía de 1 (con el 10) a 18 (con el 99)

P(x) = (1 + x + x ²+ x³ + x⁴ + x ⁵+ x⁶ + x⁷ + x⁸ + x⁹ )² = x¹⁸ + 2·x¹⁷ + 3·x¹⁶ + 4·x¹⁵ + 5·x¹⁴ + 6·x¹³   + 7·x¹² + 8·x¹¹+ 9·x¹⁰ + 10·x⁹ + 9·x⁸ + 8·x⁷ + 7·x⁶ + 6·x⁵ + 5·x⁴ + 4·x³ + 3·x² + 2·x + 1  (A)

Observando: que sus cifras sumen 18 hay uno, que sus cifras sumen 16 hay tres, que sus cifras sumen 13 hay seis, que sus cifras sumen 10 hay nueve…

La suma de los coeficientes nos dará los números de dos cifras que se pueden formar:

P(1) = 10² = 100 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9 +10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 2(1+2+3+4+5+6+7+8+9) + 10 = 2·45+10 =100,

Entre estos están contados aquellos cuya cifra de las decenas sea cero, que será la décima parte, es decir 10 números, por lo tanto habrá  100-10 = 90 números.

Debemos observar: Los exponentes del desarrollo del van del 1 al 18. Es interesante observar que, p.e., en el monomio 6·x¹³, el coeficiente 6 significa el número de formas en que podemos obtener x¹³, que son: x⁶·x⁷,  x⁷·x⁶,  x⁴·x⁹,  x⁹·x⁴,  x⁵·x⁸,  x⁸·x⁵, es decir las maneras en que el número 13 se puede descomponer en suma de dos cifras del 1 al 9 que son:

13 = 6 + 7 = 7 + 6 = 8 + 5 = 5 +  8 = 9 + 4 = 4 + 9

Problema 1. Con las diez cifras

a) ¿cuantos números de tres cifras cuya suma sea 19 se pueden formar?

Solución: Calculamos la función generatriz:

P(x) = (1+ x + x² + x³ + x⁴ + x⁵  + x⁶ + x⁷ + x⁸ + x⁹ )³ = x²⁷ + 3·x²⁶ + 6·x²⁵ + 10·x²⁴ + 15·x²³ + 21·x²² + 28·x²¹ + 36·x²⁰ + 45·x¹⁹ + 55·x¹⁸ + 63·x¹⁷ + 69·x¹⁶ + 73·x¹⁵ + 75·x¹⁴ + 75·x¹³ + 73·x¹²  + 69·x¹¹   + 63·x¹⁰ + 55·x⁹ + 45·x⁸ + 36·x⁷ + 28·x⁶ + 21·x⁵ + 15·x⁴ + 10·x³+ 6·x² + 3·x + 1

a) En total habrá P(1) = 10³ = 1000 (del 000 al 999) números. Aquellos cuya suma sea 19 tendrá todas sus cifras no nulas, por tanto, la cifra de las centenas necesariamente no nula y será de tres cifras y habrá 45, que es el coeficiente del monomio  45·x¹⁹ del desarrollo.

b) ¿cuantos números de tres cifras cuya suma sea 11 se pueden formar? En efecto hay 69,  pero aparecerán algunos que empiezan por cero que serán 8,  (8·x¹¹es el monomio  de (A) en el ejemplo 2). Luego habrá 69 – 8 = 61

PROBLEMA2: Con las cifras 0,1,3,5,7, 9 ¿Cuantos números de cinco cifras puedo formar?

Solución: Empezando por 1 podría ser VR _6,4 = 6⁴ = 1296.  En total   5·1296 = 6480

Especulación algebraica:

  (1 + x + x³ + x⁵  + x⁷  + x⁹ )⁵ =  x⁴⁵ + 5·x⁴³ + 15·x⁴¹ + 35·x³⁹+ 70·x³⁷+ 5·x³⁶ + 121·x³⁶ + 20·x³⁴   + 185·x³³ + 50·x³²  + 255·x³¹ + 100·x³⁰ + 320·x²⁹ + 175·x²⁸ + 375·x²⁷+ 260·x²⁶ + 411·x²⁵ + 340·x²⁴ + 425·x²³ + 400·x²² + 420·x²¹ + 425·x²⁰ + 405·x¹⁹ + 410·x¹⁸  + 365·x¹⁷ + 360·x¹⁶ + 311·x¹⁵ + 290·x¹⁴ + 250·x¹³ + 215·x¹² + 185·x¹¹ + 150·x¹⁰ + 120·x⁹ + 90·x⁸  + 70·x⁷  + 50·x⁶  + 36·x⁵  + 25·x⁴ + 15·x³ + 10·x² + 5·x + 1

1. ¿Cuántos números formados con cinco de esas cifras son tales que la suma de sus cifras es 43 ? El número no debe tener ningún cero, ningún uno, ningún tres, ni ningún cinco, tiene que estar formado por un 7 y cuatro 9: 79999, luego hay cinco números
2. ¿Cuántos números formados con cinco de esas cifras son tales que la suma de sus cifras sea 41? El número no debe tener ningún cero, ningún uno, ningún tres, puede estar formado por un cinco y cuatro 9, 59999 (cinco posibilidades), Por dos sietes y tres nueves 77999 (diez posibilidades), en total 15 posibilidades)
3. ¿Cuántos números formados con cinco de esas cifras son tales que la suma de sus cifras sea 39?   El número no debe tener ningún cero, ningún 1; con un tres y cuatro nueves 39999 (cinco posibilidades), con un 5, un 7 y tres nueves 57999 (veinte posibilidades), con tres 7 y dos nueves 77799 (diez posibilidades); en total 35 posibilidades
4. ¿Cuántos números formados con cinco de esas cifras son tales que la suma de sus cifras es 40 ? No encontramos solución, en realidad no hay ninguno.