El matemático alejandrino Diofanto (siglo III) es considerado como el padre del álgebra. En teoría de números reconoció las fracciones como verdaderos números y los utilizó como números racionales positivos para los coeficientes de las soluciones. Fue el pionero del simbolismo, ya que dio el salto del álgebra retórica expresada en el lenguaje natural, en lengua vernácula a una algebra sincopada que luego pasaría al lenguaje simbólico.
La Arithmetica de Diofanto sentó las bases del álgebra y su evolución a lo largo de los años. De hecho influyó en la obra de grandes matemáticos como y P. de Fermat 1607-1665) y L. Euler (1707-1783), KF. Gauss (1777-1855) que realizaron importantes avances en la materia. Por ejemplo, el Último teorema de Fermat muestra una fuerte influencia de Diofanto. La herencia de Fermat es patente en Euler de la misma forma que Gauss heredó problemas de Euler
Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, de dos o más incógnitas, cuyos coeficientes son números enteros, de las que se buscan soluciones enteras. Aquí haremos una introducción a las ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas, de la forma: mx + ny = p.
Una condición necesaria y suficiente para que mx + ny = p , con coeficientes enteros, tenga solución, es que el máximo común divisor de d = m.c.d. ( m, n ) divida a p.
ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES
Ejercicio 1: Hallar dos números enteros positivos cuya suma sea 24 y tales que uno sea múltiplo de tres y otro múltiplo de 5.
Resolución: Buscamos dos números positivos a y b tales que a = 3x y b = 5y, tales que su suma sea 24, es decir, que a + b = 24 o, equivalentemente, 3x + 5y = 24
3x + 5y = 24 ⇒ 3x + 5y = 3· 8 ⇒ 5y = 3·8 – 3x ⇒ 5y = 3·(8 – x )
Como 3·(8 – 3x ) es múltiplo de 5 y 5 y 3 son primos entre si 8 – x = 5k con k entero positivo ⇒
⇒ x = 8 – 5k
Cuando k = 1, entonces x = 3 y a = 9, y b = 15, que es la solución entera positiva. Ya que, cuando k = 2 , x = -2 y a = -4 (que es negativo) b tendría que ser 28. Evidentemente: el problema tiene la solución única: a = 9, b = 15. (Consideramos los naturales sin el cero)
Ejercicio2: Hallar dos números enteros positivos cuya suma sea 36 y tales que uno sea múltiplo de tres y otro múltiplo de 5,
Resolución: Buscamos dos números positivos a y b tales que a = 3x y b = 5y, tales que su suma sea 36, es decir, que a + b = 36 o, equivalentemente, 3x + 5y = 36
3x + 5y = 36 ⇒ 3x + 5y = 3· 12 ⇒ 5y = 3·12 – 3x ⇒ 5y = 3·(12 – x )
Como 3·(12 – 3x ) es múltiplo de 5 y 5 y 3 son primos entre si: 12 – x = 5k con k entero positivo ⇒ x = 12 – 5k
Cuando k = 1 ⇒ entonces x = 7 y a = 21 y b = 15.
Cuando k = 2 ⇒ entonces x = 7 y a = 6 y b = 30.
Cuando z = 3 x = -3 y a = – 9 (que es negativo) b tendría que se 45. Evidentemente: el problema tiene las dos soluciones :
a = 21 y b = 15 y a = 6 y b = 30.
ANTES DE ABORDAR LA DIOFÁNTICA LINEAL:
Ecuaciones mx + ny = p, con m y n primos entre si, si conocemos una solución (α, β) se verifica que: mα +nβ = p
Restando miembro a miembro se obtiene:
m(x – α)+ n(y – β) = 0 ⇒ m(x – α) = – n(y – β) ⇒ m(x – α) = n(β – y)
Como m y n son primos entre si n divide (x – α) y m divide a (β – y), luego
x – α = nk ⇔ x = α + nk y β – y = mk ⇔ y = β – mk
Ejercicio 3. Hallar dos números enteros positivos cuya suma sea 67 y tales que uno sea múltiplo de 3 y otro múltiplo de 5.
Resolución: Buscamos dos números positivos a y b tales que a = 3x y b = 5y, tales que su suma sea 67, es decir, que a + b = 67 o, equivalentemente, 3x + 5y = 67
3x + 5y = 67 ⇒ y = (67 – 3x) /7 ⇒ (buscamos una solución particular)
α = 13, β = 4
x = α + nk x = 13 + 7k y y = β – mk y = 4 – 3k
