EJERCICIOS DE DIVISIBILIDAD

Problema 1. Halla todos los enteros positivos n tales que (n + 1)|(5n + 17)

Solución:

Si suponemos que (n + 1)|(5n + 17), como también se cumple que  (n + 1)|5(n + 1), entonces (n+1) divide a la diferencia: (n +1)|(5n + 17 − 5n − 5), es decir, (n + 1)|12, por tanto n + 1 debe ser uno de los divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6,12.  Conclusión: n ∈  {1, 2, 3, 4, 5, 11}

Problema 2. Halla todos los enteros positivos n tales que (n + 1)|(4n + 15)

Solución:

Si suponemos que (n + 1)|(4n + 15), como también se cumple que (n + 1)|4(n + 1), también dividirá a  (n + 1)|(4n + 15)- 4n-4    ⇒   (n + 1)|11. Como n+1 debe se divisor de 11 y 11 es número primo, solo puede ser que n+1 sea 1 o 11 , y, por lo tanto, n = 0 o 10

Problema 3. Halla todos los enteros positivos n tales que (2n + 1)|(4n + 20)

Solución:  Si suponemos que (2n + 1)|(4n + 20), como también sabemos que (2n + 1)|2(2n + 1), entonces n+1 también dividirá a:

(2n + 1)|(4n + 20)- 4n-2     ⇒     (2n + 1)|18  ⇒   (2n + 1) ∈ {1,2,3,6,9}    n ∈ { 0,1,4}

Problema 4. Halla todos los enteros positivos n tales que (2n + 7)|(6n + 49)

Solución:

Si suponemos que (2n + 7)|(6n + 49) y sabemos que (2n + 7)|3(2n + 7), también dividirá a (2n + 7)|(6n + 49)- 6n-21    ⇒

⇒    (2n + 7)|28   ⇒ (2n + 7) ∈ {1, 2, 4, 7, 14, 28}    ⇒   n = 0

Problema 5. Halla todos los enteros positivos n tales que (n – 1)|(18n²-24n+6)

Solución: Partiremos de la descomposición en factores de: (18n² – 24n + 6)= 6 (3n² – 4n + 1) = 6 (n-1)(3n-1)

Que tiene el factor (n-1) y , por tanto, 18n²-24n+6 siempre es divisible por n-1

Problema 6. Halla todos los enteros positivos n tales que (n – 1)|(6n² +7n -55)

Solución: Partiremos de la descomposición en factores de:  (6n² +7n -55) = (3n+11)(2n-5)

Para que (n-1) divida a (6n² +7n -55)  basta con que (n-1)  divida a uno de sus factores

Si (n – 1)|(3n+11), como  (n -1)|3(n-1) también, divide a la diferencia de ambos:

⇒  (n -1) |14    por tanto n-1 Î {1, 2, 7}   ⇒     n Î {2, 3, 8}

Si (n – 1)|(2n-5), como   (n -1)|2(n-1)  ⇒  también, divide a la diferencia de ambos:

(n -1) |-3    ⇒   n =2

Luego los enteros para los que (n – 1) divide a (6n² +7n -55) son n = 2, 3, 8