EL NACIMIENTO Y LA ACEPTACIÓN DE LOS NÚMEROS NEGATIVOS

Las magnitudes negativas aparecieron en nuestra vida cotidiana de forma natural en las transacciones comerciales. Los valores positivos estaban firmemente justificados por las acciones de contar y medir. Cuando se contaban colectividades aparecían números enteros positivos y las medidas de las distancias se expresaban igualmente con números positivos.

En los libros de Geometría  Euclidiana  no aparecían magnitudes negativas; se hablaba, por ejemplo, de un edificio que podía tener 10m de altura y de un pozo de 8m de profundidad y se sabía que la diferencia de altura entre ellos era de 18m, sin necesidad de recurrir a magnitudes negativas ni a números negativos, sencillamente se sabía porque era algo que se podía observar en la realidad.

Los matemáticos indios adoptaron la notación posicional en base diez y adoptaron el cero como un número más  hacia el año 600. También introdujeron las magnitudes negativas en el contexto comercial para manejar deudas y, en ese caso, los números positivos suponían activos de capital. Brahmagupta (598-688), hacia el año 628 conocía la regla de los signos para el producto.

Los matemáticos indios conocían la geometría griega (Alejandro Magno llegó al Indo en el 327 a. C.) y la consideraban como una de las cimas del pensamiento humano. El astrónomo Varahamihira (499-587) decía que, “pese a ser los griegos impuros deben ser honrados porque practicaron las ciencias y  en ellas sobresalieron por encima de todos los demás” (Morris Kline, El pensamiento matemático, Tomo I). Los indios quizás partieron de la matemática griega, pero tenían un don especial para la aritmética y alcanzaron un elevado nivel en esta materia, influidos también por la aritmética china.

Más tarde Bhaskara (1114-1185) observó que los números positivos tenían una raíz cuadrada positiva y otra negativa y que los números negativos carecían de raíz cuadrada. No obstante, manejaban, los números negativos con cierta precaución pues en un problema no comercial le apareció a Bhaskara una raíz negativa y afirmaba que ese valor era inadecuado para ese problema concreto y no debía tenerse en cuenta.

En Europa los números negativos fueron introducidos por Leonardo de Pisa en su Liber Abaci (1202), pero no fueron aceptados (como números) hasta finales del siglo XVIII. G. Cardano (1501-1576) llamaba a las soluciones negativas de las ecuaciones valores imposibles y los  consideraba símbolos sin significado real en el problema que trataba de resolver.  R. Descartes (1596-1650) llamaba falsas a las raíces negativas de las ecuaciones y B. Pascal (1623-1662), consideraba absurdo restar de cero una cantidad positiva.

Esta situación se pude constatar en los libros de Algebra de la época en los que, por no admitir que los coeficientes de las ecuaciones pudieran ser negativos, se distinguían  tres tipos de ecuaciones de segundo grado:

x2 + bx = c  (cuadrado más primera potencia igual a número)

x2 = bx + c   (cuadrado igual a primera potencia más número)

x2 + c = bx   (cuadrado más número igual a primera potencia)

mientras que, aceptando que c y b podían ser tanto positivos como negativos, se podía  reducir  la solución de las tres ecuaciones a resolver la ecuación x2 + bx + c = 0, con la ventaja que significaba disponer de una sola fórmula para resolver la ecuación de segundo grado en lugar de tener una fórmula para cada caso.

Cardano en su obra Ars Magna  o las Reglas del Algebra (1545) distinguió trece casos para obtener la solución general de la ecuación de tercer grado.

La lista de matemáticos recelosos con los números negativos se haría interminable. Las razones que esgrimían eran, en primer lugar, de carácter filosófico y de existencia. Pensemos en la operación: 0 – 5: ¿Qué sentido tenía quitarle algo a cero? ¿Qué sentido tenía creer que aparecía algo real y con sentido físico cuando se quitaba algo a la nada?  En segundo lugar había razones de carácter lógico para no aceptar los números negativos como una extensión natural de los números positivos y las razones se basaban en que su inclusión como números acarreaba contradicciones cuando se consideraban algunas operaciones con números negativos.

Si los negativos se aceptaban como deuda,  el conjunto Z  de los números enteros era un conjunto ordenado de la siguiente forma:  …  -3  <  -2  <  -1  <  0  <  1  <  2  <  3 …

Pero cuando se operaba con ellos no verificaban las propiedades que se cumplían  con los números positivos. A continuación se muestran dos ejemplos:

Ejemplo 1.- Antoine Arnaud (1612-1694) razonaba de la siguiente forma: Dos números positivos a y b cumplen que si a < b, entonces a/b < 1, entonces, como -1 < 1 se cumplirá que:

Pero también se cumple que si dos números positivos a y b cumplen que a > b, entonces a/b > 1 y como 1  > – 1 se tiene que:

lo que supone que el número negativo -1 es, a la vez, mayor y menor que la unidad lo que es absurdo.

Ejemplo 2.-  J. Wallis (1616-1703) en su Arithmetica Infinitorum (1655), argumentaba que para cualquier número positivo  a > 0, si se divide por números cada nez más pequeños  se verifica que :

Y si seguimos disminuyendo el denominador sucesivamente, tomando, valores negativos después del cero, por ejemplo,  -1,  se tiene que:

de donde se seguía el absurdo de que cualquier número negativo debe ser mayor que infinito.

Todas estas consideraciones ponían de manifiesto la necesidad de fundamentarsobre una base firme las operaciones aritméticas y el cálculo en matemáticas. El cálculo se seguía justificando por su concordancia con la realidad. Se dio un gran impulso cuando se consiguió dar una representación en el plano de los números negativos y de los números complejos, que surgieron al realizar cálculos con raíces cuadradas de números negativos.

En el siglo XIX la matemática ganó en abstracción y se separó de las referencias físicas.  En ese momento  en matemáticas se comienza a distinguir entre el concepto de verdad,  en el sentido de ajustarse a la realidad, y el de validez, en el sentido de seguir las leyes de la lógica y de los cálculos firmemente establecidos.

La conclusión es que el concepto de número tiene su punto de partida en las acciones reales de contar y medir, pero los números se elevan por encima de esas acciones  reales,  tienen una representación precisa dentro las matemáticas y son útiles y válidos en el estudio del mundo real.

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