Este uno de los principios más sencillos y evidentes que se pueden encontrar en las matemáticas. No obstante, se puede aplicar para resolver problemas en las más variadas situaciones. El nombre del principio se debe a una interpretación del mismo en lenguaje llano: si en un palomar hay más palomas que nidos y cada paloma entra en un nido, entonces algún nido contendrá más de una paloma.
Si n objetos se distribuyen en m cajas, y n > m, entonces alguna caja contendrá más de un objeto.
PROBLEMA 1.– Probar que si se escogen cinco puntos en el interior de un triángulo
equilátero de lado 2 cm, siempre habrá al menos dos de ellos que estén a distancia menor o igual que 1cm
Solución. La distancia entre dos puntos de un triángulo equilátero de lado L no pueden distar más de L. En nuestro caso dividiendo el triángulo de lado 2 cm en cuatro triángulos equiláteros de lado 1 uniendo los puntos medios de sus lados. Alguno de ellos debe contener al menos dos de los cinco puntos dados, que estarán a una distancia menor o igual que 1cm
PROBLEMA 2. Probar que si se eligen 26 números naturales diferentes, impares y
menores que 100, siempre hay dos de ellos que suman 100.
Solución. Pensemos cuantas parejas de números impares diferentes y menores que 100. que suman 100. Estas parejas son veinticinco: (1, 99), (3, 97), (5, 95), . . ., (49, 51). Si elegimos 26 números impares diferentes entre 1 y 99, cada uno de ellos pertenece a una de los 25 parejas. Hay 26 números y 25 parejas, Por el principio del palomar debe haber dos números pertenecientes a una misma de las 25 parejas, y que, por lo tanto, suman 100.
PROBLEMA 3. Probar que cualquier conjunto X de diez números enteros entre 1 y100 tiene dos subconjuntos disjuntos y no vacíos A y B tales que la suma de todos los números en A es igual a la suma de todos los números en B.
Solución. Un conjunto de 10 elementos tiene (contando el conjunto vacío, los conjuntos de un elemento, los de dos elementos, los de tres, etc):
Subconjuntos de los cuales 1023 son no vacíos. La suma de los números contenidos en cualquiera de estos subconjuntos debe estar comprendida entre el 1 y la suma del los números del subconjunto que contiene los diez números mayores : 91+92+93+94+95+96+97 + 98 + 99 + 100 = 955.
Por tanto, tenemos 1023 subconjuntos posibles para 955 sumas posibles. Por lo tanto, como hay más subconjuntos que sumas posibles, por el principio del palomar debe haber dos subconjuntos con la misma suma.
PROBLEMA 4.- Probar que dados cinco puntos en el plano cartesiano con ambas coordenadas enteras, siempre hay dos de ellos cuyo punto medio tiene ambas coordenadas enteras.
Solución , Atenderemos a la paridad de las coordenadas de los puntos del plano cartesiano con coordenada entera, que pueden ser solamente de cuatro tipos : (x, y) con ambas coordenadas pares (PP), con ambas coordenadas impares (II), con abscisa par ordenada impar (PI), abscisa impar y ordenada (IP),
Dados cinco puntos debe haber dos de ellos, (a, b) y (c, d), del mismo tipo. Por lo tanto las sumas:
a + b y c + d son pares y su punto medio, que es la semisuma de la suma de la coordenadas,
((a + b)/2, (c + d)/2) tiene ambas coordenadas enteras.
PROBLEMA 5. Observar que: se tiene que 7 × 858 = 6006 y 12 × 5 = 60. Demostrar que para cualquier número entero positivo N, existe un número entero positivo m tal que el producto N × m se escribe sólo con dígitos 6 y 0.
Solución: La idea clave es usar aritmética modular y el principio del palomar sobre números formados solo por 6.
1.- Construimos muchos números con solo dígitos 6.
Consideremos los números 6, 66, 666, 6666,… en general, el número con k seises lo escribiremos Ak = 666…6 (k cifras),
(también se puede escribir Ak= 6 (1 + 10 + 102 +,⋯,+ 10 k−1) o, equivalentemente, Ak = 6·(10k−1)/9).
2.- Sea N un número cualquiera y queremos probar que existe un m tal que N·m es un número cuyas cifras son ceros y seises.
Consideremos los restos módulo N: de números los números A1, A2, A3,…, AN+1. Sabemos que sólo hay N restos posibles: 0, 1, 2,…,N−1.
3.- Por el principio del palomar, tenemos N+1 números y N restos posibles, entonces ocurre una de estas dos posibilidades
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- Algún Ai ≡ 0 (mod N))
- Dos números tienen el mismo resto, por lo que: Ai ≡ Aj (mod N) con i>j.
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Si Ai ≡ 0 (mod N) entonces Ai es múltiplo de N, es decir Ai = N·m _ para algún m. Como Ai está formado solo por 6, el resultado ya cumple la propiedad.
Si Ai y Aj tienen el mismo resto, entonces Ai − Aj ≡ 0 (mod N), por lo que
Ai – Aj es múltiplo de N
Pero, como como los dos están formados por cifras 6 (i >j) por ejemplo :
6666666 − 666= 6666000. En general:
Ai−Aj= 66…600…0 (algunos 6 seguidos de ceros)
Por tanto: Ai−Aj = N·m y este número contiene solo dígitos 6 y 0. Por tanto, para cualquier N existe un entero positivo m tal que N⋅m está formado exclusivamente por dígitos 0 y 6.
