La idea de infinito se intuye fácilmente, pero es difícil de representar. El diccionario de la RAE recoge varias acepciones. La primera se refiere a la duración espacio temporal: es lo que no tiene ni puede tener fin ni término. La segunda acepción puntualiza su tamaño: muy numeroso o enorme. la tercera alude (sobre todo después de Cantor) a la ambigüedad e incertidumbre de su tamaño: lugar impreciso en su lejanía y vaguedad y la quinta acepción lo sitúa en el terreno de la aritmética: Valor mayor que cualquier cantidad asignable.
Comenzaremos recordando que el infinito matemático no es un número real ni complejo, es una idea. Todos los números son finitos, lo que significa que cada uno de ellos tiene un tamaño, pero el infinito es ilimitado, por lo tanto no es un número. Pero, a veces, se utiliza como si fuera un número, aunque en realidad es una magnitud distinta que se utiliza, por ejemplo, para expresar la cantidad de elementos que tiene un conjunto indefinido, como, por ejemplo, el conjunto N de los números naturales, que se designa como cardinal de N, que escribiremos Card(N) = ꝏ.
El infinito, se utiliza como número, pero infinito no se comporta como un número real, aunque a veces aparecen, por ejemplo: ∞ + 1 = ∞ o ∞ + ∞ = ∞, como si el 1, el 2 o el propio ∞, fueran elementos neutros de la operación suma. Esas operaciones tienen el significado de que un conjunto infinito sigue siendo infinito si se le añade cualquier número de elementos
También se utiliza menos infinito (– ∞) en el sentido de que es menor que cualquier número real, del mismo modo que infinito (∞) es mayor que cualquier número real.
Estas licencias nos pueden llevar a contradicciones y paradojas como la siguiente:
PARADOJA: Como ∞ + ∞ = ∞, entonces, podemos escribir
∞/∞ = (∞+∞)/ ∞ = 2, o bien, ∞/∞ = (∞+∞+∞)/ ∞ = 3…, etc
lo que significa que ∞/∞ es indeterminado y que hay que tratarlo con cuidado
El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes son conjuntos infinitos) es el de los números naturales 󠇐Card (N) = Ჯ0. Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si y solo si entre ellos se puede establecer una biyección. A continuación, se muestran una serie de propiedades del conjunto de números naturales.
Propiedad 1.- Hay tantos números pares como impares. Es decir, Card (pares) = Card (impares)
En efecto: se puede establecer una correspondencia biyectiva entre la sucesión de los números pares {2n} = {2, 4, 6, 8,… } y la sucesión de impares {2n+1} = {1, 3, 5, 7,… } que se puede resumir así: 2n ↔ 2n+1 (2 ↔ 3, 4 ↔ 5, 6 ↔ 7, 8 ↔ 9….) en la que a cada número par se le hace corresponder en impar siguiente.
Propiedad 2.- El card de N es igual al del número de pares. Card (pares) = Card (impares) = Card (N)
En efecto: entre la sucesión de los números naturales {n} y la sucesión de pares {2n} se puede establecer la aplicación biyectiva n ↔ 2n (1↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, 4 ↔ 8….) en la que a cada número natural le corresponde su doble.
Esto significa que en el conjunto de los números pares hay tantos elementos como en el conjunto de los números naturales. Es decir que un subconjunto propio de N tiene tantos elementos como todo el conjunto N o que existen partes del conjunto que tienen tantos elementos como el conjunto completo.
A continuación, describiremos algunas particularidades de la suma de sucesiones infinitas de números naturales.
Propiedad 3.- (paradójica) Aparentemente la suma de los pares es el doble de la suma de todos los números naturales.
Explicación: Como la sucesión de números pares es infinita: 2, 4, 6, 8, 10, …, podemos extraer el factor común 2 de su suma de los pares 2 + 4 + 6 + 8 +···, esto es:
Suma de los pares = 2+ 4 + 6 + 8 +··· = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 +···)
El paréntesis del segundo miembro es la suma de todos los números naturales, luego
Suma de pares = 2+ 4 + 6 + 8 +··· = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 +···) = 2·Suma de los naturales.
Luego la suma de todos los pares sería el doble de la suma de los número naturales, pero…
Realmente estamos examinando la sucesión Suma de pares, que designaremos {SPn}, que es la sucesión: {SPn} = {2, 6, 12, 20, 30, 42, 56… } con la sucesión Suma de naturales, que designaremos {SNn}, que es la sucesión de los números triangulares: {SNn} = {1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,….} y debe hacerse término a término. Primero con primero, segundo con segundo, etc. Es decir cómo se relaciones la suma de los n primeros pares con la suma de los n primeros números naturales. Y lo que sucede es que la primera tiende a infinito más rápidamente (el doble) que la segunda
El {SPn} ={n(2n+2)/2}={n(n+1)}
{SNn} ={n(n+1)/2}
Propiedad 4.-(paradójica) Aparentemente, la suma de los cuadrados de los números naturales es mayor que la suma de todos ellos.
Explicación: La paradoja está en observar que los cuadrados, están contenidos en los números naturales tal y como se destaca a continuación. Y es que cuando a la suma de los cuadrados, le añadimos la suma infinita del resto de los números naturales, aun añadiéndole esa suma infinita la suma de los cuadrados sigue siendo mayor:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 +···
Realmente la sucesión de los cuadrados es
{Cn} = {1, 4, 9, 16 , 25 , …} ) = {n2}
Y la de la suma de los cuadrados (recordar la suma de los cuadrados de los números naturales )
Ver: https://vicmat.com/suma-los-cuadrados-los-numeros-naturales-numeros-piramidales/
{SCn} = {n(n+1)(2n+1)/6}
{SNn} ={n(n+1)/2}
La sucesión {SCn} tiende a infinito mucho más rápidamente que {SNn}
El centésimo cuadrado C100 = 104 = 10.000 el centésimo SCn 338.350 y el centésino número de SNn = 5050
Esto sugiere que la reordenación de los elementos de una serie divergente nos puede deparar sorpresas. Como sucede con las series alternadas
Propiedad 5.-. La reordenación y la asociación de términos de las series alternadas pueden dar muchos valores diferentes
Por ejemplo: La serie:
S= 5 – 5 + 5 – 5 + 5 – 5 + 5 – 5 + 5 – 5 + 5 – 5 +····
puede dar, dependiendo de la asociación de sus sumandos, valores diferentes:
S = (5 – 5) + (5 – 5) + (5 – 5) + (5 – 5) + (5 – 5) + (5 – 5) +···· = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ··· = 0
S = 5 – (5 – 5) – (5 – 5) – (5 – 5) – (5 – 5) – (5 – 5) – (5 – 5) +···· = 5 + 0 + 0 + 0 + 0 + ··· = 5
S = 5 – (5 – 5 + 5 – 5 + 5 – 5 + 5 – 5 + 5 – 5 + 5 -····) = 5 – S ⇒ 2S = 5 ⇒ S = 5/2