Laplace extendió la definición de probabilidad al estudio de variables aleatorias continuas para aprovechar la potencia del Cálculo Infinitesimal. Y pasó de entender por probabilidad, además de la conocida definición de la razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles, a considerar la probabilidad como el cociente de distancias favorables divididas entre distancias posibles.
Ejemplo En el intervalo (2,10) calcula la probabilidad de elegir un punto que se encuentre a una distancia de menos de tres unidades de 2.
Laplace comprendió que tanto en (2 ,10) como en (2,5) había infinitos números reales (además un infinito no numerable) y que el cociente de números que requería su probabilidad no era válido, por tanto, recurrió a otra medida que caracterizara a los intervalos que era la longitud de los mismos, la longitud de (2,10) es 8 y la de (2,5) es 3, por lo tanto la probabilidad será 3/8 = 0,375. Esto lo llevó a una pequeña reformulación que parecía justificada por la intuición, pero que requería algunas consideraciones.
Así las probabilidades de un evento A, que serían, en su definición casos favorables entre casos posibles se transformaría en cociente de longitudes, áreas o volúmenes según que A fuera línea, superficie o cuerpo:
A continuación, se muestran tres ejercicios del tipo de las llamadas probabilidades geométricas:
Ejercicio 1.- Calcula la probabilidad de que, al elegir al azar, un punto del interior en un círculo de radio unidad se encuentre más cerca del centro que de la circunferencia.
Solución: (Supondremos que se trata del lanzamiento de un dardo sobre una diana circular) Si la circunferencia tiene radio unidad, los puntos que están más cerca del centro que de la circunferencia estarán en un círculo de radio 1/2.
Ejercicio 2.- Calcula la probabilidad de que, al elegir al azar dos números reales en el intervalo (0,1), la distancia entre ellos sea menor que 0,5.
Solución: Supongamos que los dos números elegidos son x e y y que los tomamos como abscisa y ordenada de un punto del cuadrado unidad (0,1)x(0,1). Los puntos (x,y) que verifican que ∣y-x∣<0,5 que son los mismos que los que cumplen una de las dos relaciones siguientes:
-0,5 < y – x < 0,5 ⇔ y < x + 0,5 y > x – 0,5
El conjunto puntos cumplen una u otra relación (puntos favorables) están representados en la figura en azul.
Por lo tanto la probabilidad será 1/4
Ejercicio 3.- Se eligen al azar dos números reales en el intervalo (0,1). Calcula la probabilidad de que sea uno menor que el cuadrado del otro.
Solución: Sean los puntos x e y del intervalo (0,1), que tomaremos como abscisa y ordenada de un punto del cuadrado unidad (0,1)x(0,1). Los puntos favorables cumplirán que: y < x2 o x < y2
El conjunto puntos cumplen una u otra relación (puntos favorables) están representados en la figura en azul las dos figuras tienen igual área, por lo tanto, la suma de ambas será la superficie favorable y la superficie posible será la del cuadrado que tiene área unidad. Por lo tanto, la probabilidad será:
