La ley de Benford, conocida también como la ley del primer dígito significativo, asegura que, es mucho más probable que un número obtenido de la vida real empiece por cifra uno que por cualquier otra cifra. Esta ley la cumplen, por ejemplo, el número de habitantes de los pueblos de una provincia, las estadísticas de fútbol o las columnas del debe y del haber de una contabilidad .
Para establecer la ley F. A. Benford (1883-1949) estudió más de veinte mil números de números de todo tipo que aparentaban ser aleatorios porque a priori no cumplían ninguna ley. Los números habían sido extraídos de veinte muestras distintas tales como magnitudes físicas, alturas de montañas, longitudes de ríos, precios, exportaciones, balances de capital o magnitudes que crecían continuamente en el tiempo y observó que todas ellas cumplían una curiosa regularidad empírica: la distribución de su primer dígito no era uniforme. De hecho, un 30% de los números comenzarán por uno, el 18% por dos, el 12% por tres, el 10% por cuatro, el 8% por cinco, el 7% por seis, el 6% por siete, 5% por ocho, el 5% por nueve.
La Ley de Benford parece ir contra la intuición. Pensemos cuál sería la probabilidad de que comience por uno un número elegido al azar entre el 1 y 9999. Sabemos que los números pueden comenzar por cualquiera de las cifras del 1 al 9 y que cada cifra tiene las mismas posibilidades de ocupar el primer lugar. Es decir, que la probabilidad de elegir un número que comience por la cifra 1 será 1/9. Esta afirmación puede comprobarse contando los números que comienzan por uno según se muestra en la tabla siguiente:
La propiedad del primer dígito fue descubierta cincuenta años antes por S. Newcomb (1885-1909), que observó que las páginas de los libros de las tablas de logaritmos no se oscurecían de forma uniforme por su uso. Las páginas de los números que comenzaban por 1 eran las más ennegrecidas, seguidas de las páginas cuyos números comenzaban por 2 y la oscuridad de las hojas el libro iban disminuyendo hasta las que empezaban por 9. Newcomb enunció el principio de que los primeros dígitos estaban repartidos por igual en una escala logarítmica pero no en una escala lineal. La probabilidad de que el primer dígito del número n sea la cifra i , P(i), es aproximadamente:
La ley de Benford no la cumple cualquier conjunto de números. No puede aplicarse a conjuntos numéricos totalmente aleatorios en los que todas las cifras aparecen con la misma probabilidad, ni a los números de la lotería. Tampoco puede aplicarse a conjuntos excesivamente limitados, como, por ejemplo, poblaciones pequeñas o con variaciones mínimas, ni a conjuntos de datos acotados como, por ejemplo, el número de pasajeros de un avión, el número de dientes de los peces, altura de personas, etc, ni a números generados artificialmente, como números de teléfono, números de seguridad social o listas de números escritos por una persona. Pero, en general, la ley se puede aplicar a los resultados numéricos de procesos físicos que llevan implícito crecimiento de tipo exponencial.
La Ley de Benford se puede utilizar para encontrar indicios de irregularidades en contabilidades, en datos electorales, en censos poblacionales, etc. Teniendo en cuenta que cualquier ley estadística, como la Ley de Benford, únicamente puede aportar indicios y nunca certezas absolutas. En general la Ley de Benford la cumplen conjuntos grandes de números que no sean aleatorios y la mayor parte de los conjuntos numéricos procedentes de la recogida de datos la naturaleza, incluyendo los procedentes de factores sociales.
El profesor de contabilidad de Dallas, M. Nigrini ha utilizado con bastante éxito la ley de Benford para descubrir posibles fraudes en la Declaración de la Renta. La razón es que si alguien miente tendrá que inventar algunos ingresos o gastos y la tendencia de la mayor parte de las personas es utilizar números que comienzan por dígitos intermedios (cinco, seis o siete) con mayor frecuencia que los que empiezan por uno. Esta alteración artificial de la Ley de Benford hace saltar la alarma. El Departamento de Hacienda de EE.UU acepta que si un número que empieza por tres aparece el 40% de las veces, en lugar del 12,5% que le corresponde según la Ley de Benford, entonces hay motivos para investigar un posible fraude fiscal. Resumiendo, que quien maquilla los datos reales tiende a distribuir los números uniformemente y hace que no se cumpla la Ley de Benford.
El profesor de Análisis Matemático de la Universidad de Sevilla, M. Lacruz Martín, aplicó la Ley de Benford a la Papeles de Barcenas y apreció indicios de manipulación. La verificación de la Ley de Benford necesita datos que no sean ni totalmente aleatorios ni muy condicionados.
Entre las sucesiones numéricas que sí siguen la ley de Benford están la sucesión de los factoriales, la sucesión de las potencias de dos y casi todas las sucesiones de potencias. Los números de la sucesión de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… cumplen la Ley de Benford como se puede comprobar con los 200 primeros números de la misma que se muestran en la siguiente tabla realizada en Excel:
