Uno de los pilares básicos del paradigma científico fue la creencia de que las propiedades del espacio geométrico recogido en los Elementos de Euclides eran las mismas que las del espacio físico sensible que percibimos con nuestros sentidos. Esta creencia se acentuó desde el nacimiento de la Ciencia Moderna en el siglo XVII.
Aunque el Quinto Postulado de la Geometría de Euclides había sido cuestionado, pocos habían formulado un postulado alternativo y nadie había elaborado una geometría con su negación, sin embargo, muchos matemáticos como Posidonio de Apamea (s. II a. de C), Gemino de Rodas (s.I a. de C ) o Proclo (s. V), habían intentado demostrar el Quinto Postulado a partir de los otros axiomas.
Precisamente, el filósofo neoplatónico Proclo (412-485) en sus Comentarios a los Elementos de Euclides decía que el Quinto Postulado era verosímil, pero opinaba que no era del tipo de los otros cuatro que eran:
Postulado 1. Se puede trazar una línea recta desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera.
Postulado 2. Se puede prolongar indefinidamente una recta finita (segmento) en línea recta.
Postulado 3. Se puede describir una circunferencia con cualquier centro y cualquier radio
Postulado 4. Todos los ángulos rectos son iguales entre si.
Sin embargo, el Quinto tenía diferente formulación, ya que decía:
Postulado 5. Si una recta, al incidir sobre otras dos, lo hace con ángulos internos del mismo lado menores de dos rectos, entonces, las dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortarán del lado que están los ángulos menores de dos rectos.
Este postulado significaba para Euclides la condición de la existencia o constructibilidad de un punto como intersección de dos rectas. Proclo opinaba que se podían suponer también que las rectas no se encontraran en un punto y tuvieran una convergencia asintótica por el lado en que los ángulos internos eran menores de dos rectos. No obstante, la opción de Euclides parecía la más sensata, ya que parecía estar más de acuerdo con la experiencia, garantizaba la posibilidad de determinar el punto cómo intersección de dos rectas y, además, alejaba un poco lo infinito de la Geometría. De la mano del infinito habían aparecido en las matemáticas magnitudes inconmensurables y paradojas como las de Zenon de Elea (495-425 a. de C.)
Los griegos habían concebido y aceptado ideas distintas a la del espacio del espacio abstracto o matemático. Platón (428 −348 a. C.) aportaba en el Timeo una noción de espacio semejante a la del vacío. Para él, era espacio un vacío o de recipiente en el que todo ocurría y existía. Sin embargo, Aristóteles (384 −322 a.C.) no aceptaba el espacio vacío por varias razones, la primera era que, en el vacío, la falta de resistencia al movimiento produciría velocidades infinitas , la segunda que un espacio vacío impediría el movimiento natural rectilíneo vertical de los cuerpos, formados por los cuatro elementos, en la Tierra ya que la homogeneidad del espacio vacío impediría distinguir entre arriba y abajo; la tercera era que un espacio vacío también impediría el movimiento violento, ya que la causa eficiente que lo provocaba necesitaba de un medio para que la causa eficiente pudiera estar en contacto con el móvil, puesto que la causa no podía actuar a distancia, por ejemplo, al lanzar una flecha era necesario que la causa (ímpetus) actuara en todo el recorrido.
Siguiendo a Aristóteles los Escolásticos Medievales adoptaron la visión de un espacio lleno de algo (plenum) frente a visión de atomistas y platónicos que aceptaban un espacio vacío (vacuum). Al describir el espacio físico R. Descartes (1596-1650) también considera el plenum para explicar el movimiento de los cuerpos mediante su teoría de vórtices.
La Ciencia Moderna nació enfrentándose a la Física cualitativa de Aristóteles y empleando métodos matemáticos. Los métodos cuantitativos de la nueva ciencia llevaron a los científicos y a las matemáticas a su logro emblemático la Geometría Analítica, que suponía la asunción por los científicos de la Geometría de Euclides y del espacio, geometrizado y abstracto.
La aceptación de la Geometría de Euclides como base de la física se puso de manifiesto por las declaraciones de grandes científicos. I. Barrow (1630-1677) defendía la certeza de la geometría por la claridad de sus conceptos y por sus definiciones precisas, además, destacaba la verdad universal de sus axiomas, la posibilidad de visualizarlos claramente y la potencia que se observaba en una estructura lógica en la que con un reducido número de axiomas y el orden y el rigor de sus demostraciones se podían alcanzar multitud de resultados-
Y, cuando trataba de explicar por qué los principios de la geometría abstracta se podían aplicar a la naturaleza Barrow mantenía que los Postulados de la Geometría procedían de la intuición innata de las personas, y los objetos que observamos despertaban esos principios geométricos que estaban confirmados por experiencia. Además, decía Barrow, los principios serán fijos porque el mundo creado por Dios es inmutable.
Isaac Newton (1642-1727) en el Escolio que sigue a la definición octava del libro I distinguió entre espacio absoluto y relativo:
El espacio absoluto, tomado en su naturaleza, sin relación con nada externo, permanece siempre igual e inmóvil. El espacio relativo es alguna dimensión o medida móvil del anterior que nuestros sentidos determinan por su posición respecto a los cuerpos que el vulgo confunde con el espacio… Las causas mediante las cuales se distinguen los movimientos verdaderos (absolutos) de los relativos son las fuerzas impresas en los cuerpos para generar movimiento. El movimiento verdadero no es generado ni alterado más que por fuerzas impresas en el mismo cuerpo, pero el movimiento relativo puede ser generado sin fuerza alguna impresa en el cuerpo movido
A continuación, Newton manifestaba que era muy difícil distinguir los movimientos aparentes de los verdaderos de los cuerpos porque las partes del espacio inmóvil donde se realizaba el movimiento no eran observables por los sentidos. En su tarea de deducir los movimientos verdaderos a partir de sus causas, efectos y diferencias aparentes lo explicará en el Libro I de los Principia escrito siguiendo el modelo de la Geometría de Euclides. Con lo que la Geometría de Euclides alcanzó un status aún más elevado al convertirse en modelo del espacio físico.
Muchos filósofos, como Th. Hobbes (1588-1679), J. Locke (1632-1704) o G. Leibniz (1646.1716), creían que Dios había creado el universo a partir de principios geométricos y que con la Geometría se podían describir las leyes del universo. Sólo D. Hume (1711-1776), que decía que no existían leyes físicas como relaciones causales, y que únicamente podíamos observar fenómenos sucesivos que siempre se producían de la misma manera, defendía que las ciencias eran empíricas que las leyes físicas deducidas de la geometría no eran verdades físicas.
El papel de la Geometría todavía se vio más reforzado por el pensamiento filosófico de E. Kant (1724.1804) en la Critica de la razón pura (1781) dónde decía que la mente humana daba forma y estructura a las sensaciones recogidas del mundo. Y que nuestra mente nos obligaba a ver el mundo de una forma determinada y nos obligaba a conocer el mundo, y el espacio en particular, de una forma fija, que era espacio euclidiano. En términos kantianos se expresaba diciendo que el espacio euclidiano era una forma a priori de nuestra sensibilidad externa, es decir era algo inmutable en nuestra forma de conocer.
Pero pronto cambiaron las cosas, ya que se descubrió que negando el postulado de las paralelas resultaban geometrías que, aunque no parecían responder al mundo físico, eran lógicamente consistentes
Los trabajos de G. Sacheri (1667-1733) demostraron que había geometrías consistentes negando el Quinto Postulado, pero consideró, seguramente por las presiones de las creencias sociales de su tiempo y la concepción del espacio heredada que las nuevas geometrías eran una aberración porque, aunque fueran lógicas, eran complejas y parecían antiintuitivas y eran repugnantes a la naturaleza de la recta. Las mismas presiones sintió K. Gauss (1777-1855) que no publicó sus trabajos sobre Geometrías no Euclidianas. En 1813 Gauss escribió una carta a H.Ch. Schumacher (1780-1850) en la que le decíalo que tienía que avanzar la Geometría y le decía:
“En la teoría de las líneas paralelas, nosotros, no nos encontramos más allá de Euclides. Esta es la parte de la matemática, que más tarde o más temprano debe adquirir una fisonomía absolutamente distinta”.
Gauss siguió trabajando en Geometrías no Euclidianas y, aunque encontró muchos resultados, no publicó ninguno. En 1829 escribió una carta a F. Bessel (1784-1846) en la que le contaba sus temores en cuanto a publicar algo sobre la negación del Quinto Postulado y le decía:
”… y quizás esto no llegue a ocurrir durante mi vida, pues temo el griterío de los beocios si alguna vez me propusiera exponer mi criterio”.
Las geometrías no Euclidianas propiamente dichas aparecieron publicadas por primera vez en 1829 por N. Lobachevski (1792-1856)) y en 1832 por J. Bolyai (1802-1860), éste último, aunque realizó el estudio en 1823, no lo publicó hasta 1832 como apéndice de un libro de su padre. Ambos matemáticos construyeron sendas geometrías válidas y sin contradicciones lógicas y que no verificaban el Quinto Postulado.
Estas nuevas geometrías eran contrarias a la concepción del espacio basado en la geometría de Euclides, porque chocaban con la intuición mantenida durante veinte siglos y cuyo papel se vio reforzado por el uso que hizo de ella la Ciencia Moderna, nacida en el siglo XVII.
La geometrías no Euclidianas tuvieron muchas dificultades para ver la luz. Sobre los matemáticos pesaba la concepción heredada de que la Geometría de Euclides era verdadera y válida y, por lo tanto, única e intocable. Esa dificultad la hemos señalado con las posturas, un tanto timoratas, de Sacheri y de Gauss.
Las Geometrías no Euclidianas supusieron un cambio en la concepción de las matemáticas, las cuales no tenían que recurrir al mundo físico, para mostrar su validez. Las Matemáticas se justificaban por la coherencia lógica de sus resultados. Las geometrías pusieron a las matemáticas ante un nuevo panorama: cambiaron la prueba de la verdad como concordancia con la realidad por la de validez o coherencia desde el punto de vista lógico. La aparición de las Geometrías no Euclidianas dió a las matemáticas un viraje semejante al que en las ciencias físicas ciencias físicas suponía un cambio de paradigma.
En este cambio desempeñaron un papel importante, además del trabajo de los científicos, las condiciones externas, sociales, económicas e intelectuales, que envolvieron el desarrollo de las ciencias. El primer matemático que defendió las Geometrías no Euclidianas de forma pública e impecable fue B. Riemann (1826-1866).
