Las matemáticas de las primeras civilizaciones están relacionadas con magos y adivinos, agrimensores y escribas dedicados a la administración. Los matemáticos griegos se centraron en las demostraciones geométrica y en la proporcionalidad. Tales de Mileto (624-546 a. C.) es famoso por el teorema de Tales sobre triángulos semejantes y otros resultados. Los trabajos de Tales y otros filósofos jonios establecieron las bases de la geometría demostrativa. En general, pasaron de la simple aplicación práctica de fórmulas y procedimientos a la comprensión de los principios matemáticos subyacentes.
Thales comerció principalmente con la Mesopotamia, donde conoció la astrología babilónica y también sus matemáticas. Conoció la agricultura de Egipto y, más concretamente la labor de los agrimensores. De estas culturas provienen casi todos los resultados geométricos atribuidos a Thales, que formuló por primera vez proposiciones geométricas abstractas, es decir, independientes de cualquier aplicación práctica a la que pudieran destinarse. Se impuso el deseo consciente de establecer los fundamentos matemáticos sobre bases que fueran claras e inamovibles con proposiciones como: todo círculo es bisecado por su diámetro, en un triángulo isósceles los dos ángulos opuestos a los dos lados iguales son iguales; con la intersección de dos líneas rectas se obtienen cuatro ángulos y los ángulos opuestos son iguales; todo ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto… Para los pensadores de esta escuela, llamada milesia (Tales, Anaximandro y Anaxímenes), la física consistía en dar explicaciones sobre cómo estaba construido el universo y cuál era su origen, que para ellos se basaba en la existencia de una materia primigenia (monismo materialista) a partir de la cual se había formado el mundo tal y como lo conocían. Hoy en día se considera que fue Tales quien transformó la geometría de ciencia descriptiva en ciencia exacta, abriendo así el camino, a una de las mayores aportaciones en el campo intelectual que el ser humano ha realizado abriendo la puerta hacia la geometría griega y helenística,
Un discípulo de Tales, Pitágoras de Samos (580-496 a. C.), estableció un sistema filosófico en el que las matemáticas eran la piedra angular, lo importante para los pitagóricos era la forma y la estructura, puesto que eran estas dos formas las que podían dar explicación a la multitud de objetos y fenómenos presentes en la naturaleza, mientras que la materia sola no puede dar tal explicación.
Los pitagóricos plantearon que la forma y estructura esencial de la naturaleza eran consecuencias de los números y sus proporciones. Los pitagóricos encontraron relaciones numéricas, como la relación entre los lados de un triángulo rectángulo y relaciones entre números en la música, cuando descubrieron el sonido producido al pulsar una cuerda dependía de su longitud y que los sonidos armoniosos emitidos por cuerdas igualmente tensas eran entre sí como las razones entre números enteros sencillos (1:2 una octava, 2:3 una quinta, 3/4 una cuarta)
La música para los griegos, era una expresión artística de las matemáticas y su estudio se incluía en la teoría filosófica denominada armonía de las esferas. Esta teoría abordaba el comportamiento de las relaciones armónicas de los sistemas musicales y de los cuerpos celestes, que inspiraría la obra de J. Kepler (1571-1630).
La aparición de magnitudes inconmensurables en la escuela pitagórica, (por ejemplo, la imposibilidad encontrar una medida común entre la diagonal y el lado del cuadrado), hecha pública por Hipaso de Metaponto (n.ca 500 a. C.) hizo tambalearse la teoría numérica de las proporciones y que las matemáticas abandonaran la aritmética para refugiarse en la geometría, en la que se buscaban unos principios ciertos y un razonamiento seguro para evitar absurdos y contradicciones.
El siglo V a. C. fue una centuria brillante para la geometría: Aunque no nos ha llegado su obra directamente, sabemos de los trabajos de Hipócrates de Quios (470-410 a.C.) por los relatos de Eudemo de Rodas, (370-300 a.C.), resumidos por Simplicio (490-560) en el 530. Hipócrates de Quios escribió el primer tratado de geometría en el que se deducen teoremas a partir de unos axiomas y postulados considerados ciertos y evidentes. También se encuentra parte del trabajo de Hipócrates entre los teoremas que aparecen en los Elementos de Euclides (325-265 a. C.). Abordó el problema de Delos redujo el problema de la duplicación del cubo a construcción de dos medias proporcionales entre dos segmentos de líneas dadas de longitud a y 2a, por medio del mesolabio.
Eudoxo de Cnido (390-337 a. C.), gran matemáticos de la época clásica, siguió la tradición pitagórica de la exclusión de los inconmensurables, pero elaboró la teoría de las proporciones en la geometría Su solución al problema se perdió, sabemos de su existencia por Eratóstenes. Pero, sobre todo, por los comentarios de Eudemo y Simplicius por los que sabemos que Euclides aprovechó los aportes de Eudoxo a la teoría de la proporción, y los de Teeteto (417- 369 a. C.) sobre los poliedros regulares,
Los griegos consiguieron obtener resultados geométricos mediante demostraciones lógicas, probando deductivamente los resultados, sin usar métodos experimentales ni hacer referencia al mundo real, y transformando la geometría empírica de agrimensores, y medidores en una geometría axiomática. Estos trabajos culminan en la obra de Euclides.
El matemático bizantino Proclo (417-485) no ofrece ninguna fuente para sus indicaciones. sobre los Elementos ni sobre la biografía Euclides. Sólo dice que el autor había recogido muchos resultados y demostraciones irrefutables de otros matemáticos anteriores que habían enseñado las matemáticas de una manera relajada. Proclo dice que vivió, en tiempos de Ptolomeo I, (367-282 a. C.) y, puesto que Arquímedes (287- 212 a.C.) citaba a Euclides, éste es ,por consiguiente, posterior a los discípulos de Platón (428-427 a.C.), pero anterior a Arquímedes y Eratóstenes (276-195 a. C.).
El método axiomático de los Elementos Euclides es un sistema deductivo que se basa en un conjunto de principios autoevidentes (axiomas y postulados) que los usa para demostrar lógicamente un gran número de teoremas. Este método organiza la geometría como una ciencia, partiendo de conceptos verdaderos no demostrados para derivar nuevas verdades a través de una cadena de razonamientos lógicos. Los Elementos incluyen: definiciones, axiomas (nociones comunes), postulados específicos de la geometría y teoremas con sus demostraciones.
Los Elementos señalan el origen de las matemáticas puras y son puras en un doble sentido. Por una parte, el método es puro, porque no se precisa recurrir a la experiencia para corroborar si los enunciados son correctos o no; solamente se necesita que sea válido el razonamiento de las demostraciones. Por otra parte, los Elementos de Euclides son puros porque no incluyen ninguna aplicación práctica ni en la física ni en la ingeniería.
El método desplegado en los Elementos aumentó las dificultades que podían tener el aprendizaje de la geometría intuitiva. Se recoge la anécdota de que, en cierta ocasión el rey Ptolomeo le preguntó Euclides si le podía mostrar un camino más fácil que el de los Elementos para aprender matemáticas a lo que Euclides le respondió que no había caminos reales en geometría. Una variante de la misma anécdota también se atribuye a Menecmo (380 – 320 a.C.) y a Alejandro Magno (356-323 a.C.).
Pero, pese no haber en los Elementos de ninguna aplicación práctica y directa de las matemáticas al estudio de la física, la propia estructura de la obra proporcionó a las ciencias un modelo dpara espacio real que iba a ser el marco y el lugar donde se producirían todos los fenómenos naturales durante veintidós siglos. Por lo menos hasta el siglo XIX con la aparición de otros modelos de espacio con las geometrías no euclidianas, surgidas a partir del V postulado de los Elementos, o postulado de las paralelas. El quinto postulado desempeñó un papel prominente en la historia de la ciencia. La genialidad de Euclides radica en haber visto la necesidad de tal postulado y, por intuición, haberlo escogido como base de su geometría.
La aplicación directa de las matemáticas a las ciencias en el periodo alejandrino vino de la mano de Arquímedes. Mientras que Euclides partía de axiomas y postulados para demostrar teoremas de manera lógica y rigurosa, la metodología de Arquímedes combinaba el rigor de la geometría con el uso de métodos mecánicos y de aproximación, como el método de exhaución, para calcular áreas y volúmenes de figuras complejas y establecer proporciones.
Arquímedes formuló la ley del tornillo, llamado de Arquímedes, y de la palanca y estableció que la potencia por su brazo es igual a la resistencia por el suyo, y esta ley es la base de los teoremas mecánicos sobre el equilibrio de fuerzas y el equilibrio de planos. Aunque estos son sus teoremas mecánicos más conocidos, también contribuyó al estudio de centros de gravedad y otras obras.
Arquímedes en su obra El método, en el preámbulo dirigido a Eratóstenes dice
Estoy convencido de que el método mecánico no será menos útil para demostrar los propios teoremas. Pues algunos de los que primero se me hicieron patentes mecánicamente, recibieron luego demostración geométricamente […] pues es más fácil, después de haber adquirido por ese método cierto conocimiento de las cuestiones objeto de investigación, dar luego la demostración, que investigar sin ningún conocimiento previo.
La inventiva y creatividad de Arquímedes es elogiada por D’Alembert (1717-1783) en el Discurso preliminar de la Enciclopedia dice:
La imaginación no actúa menos en un geómetra que crea que sea un poeta que inventa. […] De todos los grandes hombres de la antigüedad, es acaso Arquímedes el que más merece figurar al lado de Homero.
Arquímedes (287-212 a. C.) escribió Sobre la esfera y el cilindro, Sobre los conoides y esferoides y La cuadratura de la parábola, en las que trata del cálculo de áreas y volúmenes complejos utilizando un procedimiento introducido por Eudoxo y conocido como método de exhaución, que es la base del cálculo integral, que previamente había descubierto por métodos mecánicos.
Sus trabajos sobre los centros de gravedad de los cuerpos y su teoría de la palanca constituyen grandes aportaciones a la teoría física y, al mismo tiempo, a la ingeniería. Lo que se deja entrever en su trabajo es la utilización de las matemáticas y la física para resolver problemas enteramente prácticos. También se considera el padre de la hidrostática por el descubrimiento de la ley física del principio del conocido principio de Arquímedes En su obra no aparecen preocupaciones de carácter metodológico ni de fundamentación de lasmatemática, así como tampoco se ocupa de construir cosmología alguna. El descubrimiento de su tratado El Método a comienzos del siglo XX fue particularmente revelador , ya que explicaba el proceso heurístico y mecánico que usaba para llegar a sus resultados, algo que asombraría a los intelectuales de su época.
Por otra parte, el modo de aplicar las matemáticas al estudio de la naturaleza y a los fenómenos observables en Grecia se reflejó en la astronomía que se desarrolló en Alejandría y en esa disciplina se relacionaba la física con las matemáticas. Los movimientos celestes eran explicados a partir del dogma platónico de que los astros describían movimientos circulares.
El Almagesto del astrónomo Ptolomeo (100-170) refleja una función instrumentalista de las matemáticas, que sólo trataba de salvar los fenómenos del movimiento de los astros sin preocuparse si las trayectorias señaladas por la teoría respondían a la realidad sus desplazamientos. Esta postura deriva, en cierta medida, de la doctrina platónica que partía de la base que el mundo material era una copia imperfecta del mundo de los arquetipos (mito de la caverna). De este modo para describir la realidad de los movimientos planetarios no era necesario basarse en lo que no muestran los sentidos, sino que los movimientos deben ser resultado del razonamiento puro, guiado por las matemáticas (la geometría), concretamente por el dogma de la preponderancia y perfección del círculo y la esfera. Con este criterio se adoptó, primero el modelo de las esferas homocéntricas de Eudoxo y después el modelo de Hiparco de Nicea (190-120 a. C.) que explicaba los movimientos de retrogradación de los planetas a base de círculos epiciclos y deferentes.
Un astrónomo no trataba de reflejar el movimiento real de los planetas, simplemente salvaba los fenómenos, trataba de hallar una hipótesis geométrica combinando movimientos circulares que reflejasen los movimientos irregulares de los planetas sin comprobar si la hipótesis formulada respondía a la realidad, esto es, si era tal y como sucedía físicamente o no. Tendría que llegar la el siglo XVII para que las matemáticas se aplicaran a describir los movimientos tal y como se producían en realidad.
