La balanza es una palanca de primer grado (tiene el punto de apoyo en medio) de brazos iguales. Cuando en una balanza se establece el equilibrio entre doa cuerpos permite comparar las masas colocadas en cada uno de sus platillos.
El problema que tratamos de resolver es determinar entre una serie de objetos que tienen la misma apariencia, pero que sabemos que hay uno de ellos pesa más (o menos) el objeto diferente. Para ello disponemos de una balanza que carece de pesas, es decir, que debemos descubrirlo contando únicamente con los equilibrios que podemos establecer entre los platillos de la balanza e con los objetos cuyo peso (masa) deseamos comparar.
La idea consiste dividir la colección de objetos en partes que sean fáciles de comparar. Partiremos de colecciones de objetos cuyo número sea potencia de tres. Analizaremos tres casos
1.- Tres bolas: Si tenemos tres bolas iguales en apariencia, pero entre ellas hay una bola más pesada que las otras, podemos determinar con una única pesada en una balanza cual es la bola más pesada de las tres.
Si tenemos tres bolas A, B y C. Comparamos las bolas A y B colocándolas cada una en un platillo de la balanza.
Se pueden dar tres casos:
Peso de A = Peso de B, entonces la más pesada será la C
Peso de A > Peso de B, entonces la más pesada será la A
Peso de A < Peso de B, entonces la más pesada será la B
2.- Nueve bolas: Si tenemos nueve bolas iguales en apariencia, pero entre las cuales hay una bola más pesada que las otras, se puede determinar con dos pesadas cuál es la bola más pesada de las seis.
Hacemos tres grupos de tres bolas: (A, B, C), (D, E, F), (H, I, J) con una pesada seleccionaremos el grupo de tres bolas en el que se encuentra la bola más pesada. Se pueden dar tres casos:
Peso de (A, B, C) = Peso de (D, E, F), el grupo más pesado será (H, I, J)
Peso de (A, B, C) > Peso de (D, E, F), el grupo más pesado será (A, B,C)
Peso de (A, B, C) < Peso de (D, E, F), el grupo más pesado será (D, E, F)
Con una pesada más y procediendo como el caso anterior con el trío de bolas que haya resiltado más pesado más pesado, obtenemos la bola de que buscamos.
3.- Veintisiete bolas: Si tenemos veintisiete bolas iguales en apariencia, pero entre las cuales hay una bola más pesada que las otras, podemos determinar con tres pesadas cuál es la bola más pesada de las veintisiete.
Para ello hacemos tres grupos de nueve bolas: comparando dos de esos grupos determinamos el grupo de nueve bolas que tiene la bola más pesada y, procediendo como el caso anterior de las nueve bolas con dos pesadas más obtendremos la bola que buscamos.
La conclusión es que, como con tres bolas basta una pesada para determinar la bola con más peso, con nueve bolas basta con dos pesadas, con veintisiete con tres, entonces con 3n bolas necesitaremos n pesadas.
La importancia del sistema de numeración ternario estriba en que cada vez que hacemos una pesada comparativa puede ocurrir: que las respuestas que puede dar esa balanza en una pesada son tres: pesa más el platillo derecho, pesa más el platillo izquierdo, hay equilibrio, como las tres cifras del sistema ternario.
