PRIMERO. – Demuestra que la suma de los seis números de tres cifras diferentes que se pueden formar con tres cifras distintas es igual a 222 veces la suma de sus cifras
Respuesta: Sean las cifras a, b, c, Los números serán: abc, acb, bac, bca, cab, cba
S = abc + acb + bac + bca + cab + cba =
= (2a+2b+2c) 100 + (2a+2b+2c) 10+ (2a+2b+2c) =
= (2a+2b+2c) (100+10+1) = 2 (a + b+ c) 111 = (a + b+ c) 222
SEGUNDO.- Demuestra que la suma de los doce números de dos cifras distintas que se pueden formar con cuatro cifras diferentes es igual a 33 veces la suma de sus cifras.
Respuesta: Sean las cifras a, b, c, los números serán:
ab , ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc
S = ab + ac + ad + ba + bc + bd + ca + cb + cd + da + db + dc =
= 3·a·10 +3·b·10 +3·c·10 +3·d·10 + (3a+3b+3c+3d) =
= (3a+3b+3c+3d)·10 + (3a+3b+3c+3d) = (3a+3b+3c+3d)(10 +1) =
= (3a+3b+3c+3d)·11 = 3·(a+ b+ c+ d)(10 +1) = 33 ·(a+ b+ c+ d)
TERCERO.- Demuestra que la suma de los 24 números de tres cifras distintas que se pueden formar con cuatro cifras diferentes es igual a 666 veces la suma de sus cifras.
Respuesta: Sean las cifras a, b, c, d los números serán
abc, abd, acb, acd, adb adc
bac bad bca, bcd bdc bda
cab,cad, cba, cbd, cbd cba
dab dad, dba, dbd, dcb, dba
(6a+6b+6c+6d)·100 +(6a+6b+6c+6d)·10 + (6a+6b+6c+6d) =
(6a+6b+6c+6d)·(100+10+1) = 6·( a+ b + c+ d)·111 = ·( a + b + c+ d)·666
CUARTO.- Demuestra que la suma de los 24 números de cuatro cifras distintas que se pueden formar con cuatro cifras diferentes es igual a 6666 veces la suma de sus cifras.
Respuesta: Análogo a anterior:
(6a+6b+6c+6d)·1000 +(6a+6b+6c+6d)·100 + (6a+6b+6c+6d)10 +(6a+6b+6c+6d) =
(6a+6b+6c+6d)·(1000 + 100+10+1) = 6·( a+ b + c+ d)·1111 = ·( a+ b + c+ d)·6664
QUINTO.- Demuestra que la suma de los 9 números de dos cifras, repetidas o no, que se pueden formar con tres cifras diferentes es igual a 33 veces la suma de sus cifras.
Respuesta:
aa, ab, ac, bb, ba, bc, cc, ca, cb.
(3a+3b+3c) 10 + (3a+3b+3c) = (3a+3b+3c)(10+1) = (a + b + c) 33
SEXTO.- Demuestra que la suma de los 27 números de tres cifras que se pueden formar con tres cifras diferentes (pudiendo repetir cifras) es igual a 999 veces la suma de sus cifras.
Respuesta: Sean las cifras a, b, c, los números serán:
aaa, aab, aac aba, abb, abc, aca, acb, acc
bbb, bba, bbc, baa, bab, bac, bca,bcb, bcc
ccc, cca, ccb, caa, cab, cac, cba, cbb, cbc
(9a + 9b +9c) 100 + (9a + 9b +9c) 10 + (9a + 9b +9c) =
(9a + 9b +9c) (100+10 +1) = 9 (a + b + c) 111 = 999 (a + b + c)
