Las matemáticas de los siglos XVII y XVIII, a medida que se alejaban de los métodos geométricos, iba perdiendo rigor lógico y algunos de sus métodos de demostración y el uso abusivo de ciertos procedimientos de cálculo fueron criticadas por lógicos y filósofos. Algunos matemáticos trataron de dar un fundamento lógico a estos procedimientos matemáticos.
Una de las críticas a la falta de rigor lógico del cálculo infinitesimal fue la que, desde el terreno de la más pura lógica, le hizo G. Berkeley (1685-1753) sobre el carácter contradictorio del concepto de infinitésimo, en su obra El analista. Discurso dirigido a un matemático infiel (1734). Criticas como las de Berkeley calaron entre lógicos y matemáticos, pero dejar de tener en cuenta que, pese a ese descuido en el rigor lógico, las matemáticas proporcionaban unas explicaciones y aportaban unas predicciones tan precisas como las de daba a través de la mecánica newtoniana.
No obstante, la extensión de las operaciones a las sucesivas ampliaciones numéricas, la falta de orden de los números complejos, la suma de series infinitas, y, en general, la extensión de los métodos del álgebra a sumas infinitas y al cálculo infinitesimal entre otras cuestiones despertaron críticas y aparecieron una serie de matemáticos que trataron de poner orden en las matemáticas que se aplicaban a la Mecánica, proceso que acabaría independizando las matemáticas de la Física y haciendo que las matemáticas fueran una ciencia autónoma, independiente del mundo real. Entre los matemáticos que abordaron la tarea figuran: B. Bolzano (1781–1848), K. F.Gauss (1777-1855), A. Cauchy (1789-1857), C. Jacobi (1804-1851), N. Abel (1802-1829), B. Riemann (1826-1866) y K. Weiersstrass (1815-1897)
Cauchy, en la introducción a su Curso de Análisis (1821), expuso sus principios para dar rigor lógico a las matemáticas, evitar contradicciones y hacer de las matemáticas una ciencia segura y libre de paradojas con las siguientes palabras:
En cuanto a los métodos, he intentado darles el rigor que se exige en geometría, de modo que no sea necesario recurrir a razones extraídas de la generalidad del álgebra. Las razones de esta especie, aunque sean aceptadas comúnmente, sobre todo en el paso de serie convergentes a divergentes y de las cantidades reales a las imaginarias, sólo pueden ser consideradas, me parece, como inducciones adecuadas para hacer en ocasiones plausible la verdad, pero tiene poco que ver con la célebre exactitud de las ciencias matemáticas. Se puede observar que intentan atribuirles a las expresiones algebraicas una extensión indefinida, cuando en realidad la mayoría de esas fórmulas es válida sólo bajo ciertas condiciones y para ciertos valores de las cantidades que involucran. Al determinar esas condiciones y esos valores, y al fijar de manera parecida el sentido y la notación que utilizo hago desparecer cualquier incertidumbre.
Cauchy incorporó al Análisis los conceptos de función, de límite, de derivada, de dominio de convergencia, definió integral como suma, pero excluyó las series divergentes del análisis, por los mismos criterios que Abel, el cual opinaba que las serie divergentes eran una invención diabólica y que era vergonzoso que se intentara construir sobre ellas ninguna demostración rigurosa. El joven matemático noruego opinaba que la parte esencial de las matemáticas carecía de base y que, aunque la mayor parte de los resultados eran exactos, ras algo verdaderamente sorprendente que en el Análisis superior unas pocas proposiciones estaban demostradas de manera indiscutible y casi siempre se extraen resultados generales de casos particulares y con esos métodos se llega frecuentemente a paradojas.
Abel estudia las integrales abelianas. Y propone estudias las inversas de las integrales de las funciones elípticas que ya había utilizado A. M. Legendre (1752-1833)
En el primer cuarto del siglo XIX se estaba librando, antes de la aparición de las geometrías no Euclidianas muchos matemáticos estaban realizando una tarea de reflexión sobre el papel que debían de jugar las matemáticas en la ciencia, mientras que continuaban haciendo una s matemáticas para describir y explicar los fenómenos físicos.
J. Fourier (1768-1830) siguió la tradición del siglo XVIII trabajando en una matemática aplicada a la física y en su obra Teoría analítica del calor (1824), dedujo la ecuación diferencial en derivadas parciales que seguía la difusión del calor. Expresó la solución mediante de la ecuación mediante series trigonométricas infinitas y más particularmente establece la representación de cualquier función como series de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier (Dejando abiertos muchos problemas, pero abriendo una de las más fecundas ramas de las matemáticas),
Por otra parte, pocos años después, C. Jacobi (1804-1851) escribió un tratado que nada tenía que ver directamente con la física: su libro Nuevos fundamentos de la teoría de las funciones elípticas (1829). En la obra trataba exclusivamente de procedimientos matemáticos, determinantes y convergencias y dejaba de lado las aplicaciones de las matemáticas a las ciencias naturales que se consideraban de utilidad pública y se ocupaban de explicar los fenómenos físicos.
El choque entre la matemática del siglo XVIII, aquí representamos con Fourier y la nueva matemática del siglo XIX, que representamos con Jacobi, se puede apreciar en el rifirrafe que se produjo entre el matemático S.D. Poisson (1781-1840), partidario de la aplicación de las matemáticas a la física, al comentar la obra de Jacobi , recordó un reproche de Fourier dirigido a Abel y al propio Jacobi lamentando que dos matemáticos de tanto talento no se ocuparan de las ciencias físico-matemáticas, Jacobi le manifestó su enojo a Legendre en una carta diciéndole lo desafortunado de Poisson al recordar la frase de Fourier, puesto que para él y para muchos matemáticos el valor de las matemáticas no estaba solamente en las aplicaciones, sino que se encontraba también en su contribución al enriquecimiento intelectual en su capacidad para potenciar el poder de la razón y del pensamiento humanos y que esos matemáticos creían, igual que Jacobi, que las matemáticas eran un honor del espíritu humano. Le decía:
Es cierto que Fourier pensaba que el objeto principal de las matemáticas era el uso público y la explicación de los fenómenos naturales; pero un filósofo como él debía saber que el único objetivo de la ciencia es el honor del espíritu humano y que bajo esta perspectiva un problema de [la teoría de] números es tan valioso como un problema sobre el sistema del mundo.
Jacobi consideraba que las matemáticas eran una ciencia exacta, una ciencia pura, cuyos problemas por suponían por sí mismos un desafío para la inteligencia; Jacobi pensaba que la finalidad primordial de las matemáticas era rendir honor al espíritu humano. Seguramente, Por esta razón y conociendo las dos tendencias de las matemáticas a comienzos del siglo XIX E. Galois (1811-1832) pidió a su amigo Chevalier que la carta que le entregó con su testamento matemáticos la víspera del duelo que le costó la vida se publicara y que rogaba que dos matemáticos alemanes concretos: Jacobi y Gauss, con esa visión de la matemática liberada de la física emitieran su opinión sobre el contenido.
Resulta sintomático que puedan fecharse alrededor de 1830 varios sucesos tan importantes, por una parte, esta proclamación de independencia del Análisis y de las Matemáticas respecto a las Ciencias Naturales, por otro lado, la aparición de las Geometrías no Euclidianas y que la valoración que pidió Galois para que sus trabajos recogidos en la carta escrita la noche de mayo de 1932 en la que tuvo lugar del duelo a pistola que le costó la vida fuera precisamente a de Gaus y Jacobi, dos representantes de los nuevos vientos que soplaban en las Matemáticas. En suma, que coincidan en 1830 la fecha oficial del comienzo del movimiento romántico y del principio de la autonomía de las Matemáticas respecto de las Ciencias Naturales.
