En este trabajo no intentaré dar una definición general de belleza, tanto por la dificultad real de la tarea, como porque el concepto de belleza tiene mucho de subjetivo, depende de muchos factores y ha evolucionado a lo largo de la historia. Comenzaré con una de las primeras aproximaciones poéticas al tema de la belleza escritas por la poetisa griega Safo de Mitilene (612-548 a.C), que encontraba la belleza, en los objetos que se mostraban ante nuestros sentidos como proporcionados y armoniosos y, además, en todo aquello que consideremos bueno y percibamos su bondad, según sus palabras:
Ya que el que es bello, es bello ante la vista,
pero el que es bueno, enseguida será bello
Pero, además, Safo puso de manifiesto el carácter subjetivo y personal de la belleza en estos famosos versos:
Dicen unos que lo más bello sobre la tierra oscura
es un ecuestre tropel, la infantería otros, y esos,
que una flota de naves; pero yo afirmo
que lo más bello es lo que uno ama.
En el poema, situaba al observador ante a dos motivos fundamentales para acercarnos al concepto de belleza. El primero era que una persona podía considerar bello un objeto porque lo era ciertamente, es decir, que las características de su belleza estaban en la propia naturaleza del objeto y el segundo motivo consistía en que un individuo podía estimar que algo era bello, casi con independencia de sus características, por el impacto que le producía su contemplación o reconocimiento.
El ideal de belleza en la Grecia clásica se definía a partir de conceptos matemáticos. Para Platón (427-347), la belleza estaba fundamentada en la medida y la proporción de los objetos cuando esos objetos se ordenaban con una cierta simetría. Así lo recogió su discípulo Aristóteles (384-322) en la Poética:
… Como lo bello, sea viviente o sea una cosa cualquiera compuesta de partes, no sólo supone que tenga ordenadas tales partes, sino también un tamaño que no debe ser casual, pues lo bello está en el tamaño y el orden… Aristóteles, Poética 145:
La relación entre la belleza y las matemáticas viene de lejos. Comenzó con la relación entre las proporciones numéricas y música pitagórica. Recordemos que Pitágoras descubrió que, si la cuerda tensa del monocordio de longitud L emitía la nota Do, cuando se hacía vibrar una parte de ella emitía un sonido diferente y sólo cuando se hacía vibrar, su mitad (L/2), sus dos terceras partes (2L/3), o sus tres cuartas partes (3L/4), emitían sonidos consonante con Do. Haciéndolos sonar juntos no producían disonancias y los sonidos resultaban agradables al oído.
Esta relación entre las matemáticas y la belleza se difundió en la filosofía griega por los escritos de los más grandes pensadores de Grecia, especialmente a través de Pitágoras (569-475 a. C.) de Platón (427-347 a. C.) y de Aristóteles (384-322 a.C.) y, a través de ellos, pasó a Roma y a la filosofía escolástica medieval. Aristóteles en su Metafísica dejaba el trabajo de crear y descubrir nuevas formas de belleza a los matemáticos
Las formas que mejor expresan la belleza son el orden, la simetría y la precisión. Y las ciencias matemáticas son las que se ocupan de ellas específicamente. Aristóteles, Metafísica (Libro XII, Cap.III, 9).
En la Escolástica medieval, santo Tomás de Aquino (1225-1274) definió lo bello como quae visa placet, es decir, lo que agradaba a la vista. La noción de belleza volvía con él a las ideas de los clásicos de los griegos; eran agradables a la vista los objetos proporcionados, armoniosos y simétricos, pero siempre y cuando agradaran a la vista. La idea de belleza a través de la vista de Tomás se podía extender al resto de sentidos; en el caso del oído, la belleza de la armonía musical se basaba en las proporciones de la música pitagórica, pero la belleza conmovía al observador cuando esa música tenía algo más que lograba excitar agradablemente el espíritu. Con observaciones de ese tipo pronto fueron conscientes de que la belleza no era una cualidad exclusivamente física, sino que era una cualidad subjetiva, apreciada por el sujeto a través de sus sentidos.
Esta propiedad ya la había apuntado, como una característica no matemática de la belleza, el genial filósofo, jurista y orador romano M.T. Cicerón (106-43 a. C.) en el siglo I antes de Cristo el que, para caracterizar la belleza, no le parecían suficientes los requerimientos de carácter matemático que le asignaban los filósofos griegos y le añadió una característica nueva que llamó aspecto, que era la cualidad de que la belleza debía poseer algo que resultara atractivo o conmovedor.
Giordano Bruno (1548-1600) vio tan difícil conjugar todos los aspectos que se le exigían a la belleza que optó por una vía intermedia, que, en cierto modo, podía llevar a una vía muerta: a una postura relativista que podía dejar a la belleza en un terreno ambiguo e inabordable. Bruno introdujo el concepto de la relatividad en el arte Nihil absolutum pulchrum, sed ad aliquim pulchrum. Opinaba que no existía una belleza absoluta y que era indefinida e indescriptible ya que dependía del estado de ánimo del observador y podía provocar y conmover sentimientos diferentes, desde la atracción y la complacencia hasta el amor.
Sin embargo, podemos pensar que la belleza existe en el mundo y considerar que, lo bello, lo armónico, lo placentero, lo feo, lo disonante, lo enojoso o lo ambiguo, aparecen, como sucede en la minería, mezclados como la mena y la ganga y, muchas veces, es posible separar un metal o un elemento precioso de una maraña de componentes mezclados e indefinidos.
Todas estas consideraciones están hechas pensando en caracterizar la belleza de los objetos materiales y que las matemáticas participan, de alguna forma, como un instrumento para estudiar la belleza sensible. Pero lo que pretendemos, en este trabajo, es reflexionar sobre si las matemáticas son bellas en sí mismas no su papel en la caracterización de las cosas bellas.
Lo primero que observamos es que la belleza intrínseca de las matemáticas es más difícil de apreciar que la que se puede sentir cuando contemplamos una puesta del Sol, la fuerza un mar embravecido, cuando admiramos el Moisés de Miguel Angel o las Meninas de Velázquez y cuando escuchamos el concierto para clarinete de Mozart o las variaciones Goldberg de Bach. Esta dificultad se debe a que la refinada hermosura de las matemáticas no se puede captar mediante un acto directo de percepción sensorial, como sucede cuando se disfruta un paisaje, se observa una escultura, se contempla un cuadro o se escucha una melodía, sino que se llega a disfrutar de ellas mediante un proceso de pensamiento complejo y reflexivo.
Podemos preguntarnos en qué consiste la belleza de las matemáticas. Sabemos que el producto de las matemáticas son objetos matemáticos, fórmulas, demostraciones y teoremas, en suma, en su mayoría, productos racionales que, en principio, no estimulan nuestros sentidos corporales por los que percibimos la belleza. Esos productos racionales nos deben conmover y despertarnos un sentimiento placentero que supere lo puramente racional.
La geometría es la rama de las matemáticas que puede ofrecer la posibilidad de poder observar un objeto bello con el sentido de la vista. Una prueba de ello son algunas curvas, como las espirales, los frisos de la decoración de la Alhambra de Granada, o los objetos fractales, como el conjunto de Mandelbrot. Pero, cuando hablamos de matemáticas, no nos estamos refiriendo solamente a la geometría, las matemáticas son también álgebra, estructuras algebraicas, análisis, teoría de números, cálculo vectorial, topología, análisis armónico, etc, etc. De hecho, La Mathematics Subject Classification (MSC) recoge 97 clasificaciones de los diferentes temas en la investigación matemática.
Muchos matemáticos, a lo largo de la historia, y en campos diferentes, han quedado subyugados por la belleza de las matemáticas, debido a la profundidad y el alcance de los resultados que habían logrado. Son famosos el descubrimiento de la armonía musical Pitagórica, el resultado de Arquimedes (287-212 a. C.) al descubrir la composición de oro y plata en la corona del rey Heron de Siracusa, el descubrimiento de Galileo de que el movimiento de caída de los cuerpos hacia la Tierra era uniformemente acelerado, es decir, que cumplía una ley matemática con independencia de la densidad, peso o estructura del cuerpo.
Johannes Kepler (1571-1630) descubrió la belleza de las matemáticas cuando encontró las leyes matemáticas del movimiento de los planetas a partir de las observaciones astronómicas de Tycho Brahe (1546-1601). Kepler pensó en la organización de las órbitas del sistema planetario y llegó a ellas siguiendo las relaciones de la armonía musical pitagórica; con unos presupuestos filosóficos, puramente platónicos, creía que La geometría era el arquetipo de la belleza del mundo, es decir, que la geometría euclidiana era el modelo original con el que se había estructurado el mundo y su belleza.
Por otra parte, los matemáticos, a partir del siglo XIX, se movieron dentro de una atmósfera matemática autónoma y casi mágica, en la que las especulaciones y los descubrimientos matemáticos se hacían sin tener en cuenta sus aplicaciones en el mundo real, esto quiere decir, que eran puras creaciones de la mente o, como decía K.G. J. Jacobi (1804-1851), eran resultados que a los que se llegaba sin otro fin que el honor del espíritu humano. Pero estas creaciones realizadas, sin tener en cuenta sus posibles aplicaciones, encontraban aplicación y perfecta adaptabilidad en el estudio de los problemas de la física.
Esta forma del quehacer matemático tenía mucho de belleza emotiva. El matemático francés H. Poincaré (1854-1912) la retrató con las siguientes palabras
Puede ser sorprendente ver invocada la sensibilidad emocional a propósito de demostraciones matemáticas las cuales parecería que pueden interesar únicamente al intelecto. Esto sería olvidar el sentimiento de la belleza matemática, de la elegancia geométrica, que constituye un verdadero sentido de lo bello, conocido por todos los matemáticos y que, con seguridad, pertenece a la sensibilidad emocional.
La belleza de creación en matemáticas parte del asombro y la fascinación que produce relacionar conceptos que parecían independientes, en conseguir y ofrecer resultados generales claros y precisos que sirven de referencia y de guía en las ciencias. Así como en la capacidad de resumir principios fundamentales en fórmulas que esquematizan el pensamiento y lo abre hacia nuevos horizontes.
E.Wigner (1902-1995) destacaba con asombro y admiración un aspecto importante de la belleza de las matemáticas y era la perfecta adaptación y plasticidad de sus teorías, ya que, aunque son elaboraciones mentales de los matemáticos, permiten describir, resumir y, en ocasiones, anunciar el comportamiento futuro del mundo físico:
El milagro de la adecuación del lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que ni entendemos ni merecemos.
También, en pleno siglo XX, B. Russell (1872-1970) decía que:
Las matemáticas no solamente poseen la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como la de la escultura, sin atractivo para la parte más débil de nuestra naturaleza.
Pero el descubrimiento de la belleza de los resultados, de las teorías y de las fórmulas matemáticas no se aprecia inmediatamente. Para captar su belleza es necesario un proceso de comprensión, sin el cual, la belleza, no puede apreciarse.
Las fórmulas matemáticas son bellas por lo que significan. La fórmula de Einstein es bella porque representa de forma concisa la relación entre dos conceptos físicos vitales la masa y la energía: E = m·c2, nos dice que la masa es una manifestación de la energía. No obstante la belleza de esta fórmula está llena de matices y de preguntas que estimulan nuestra mente y nuestra propia concepción del mundo, la masa pesa ¿pesa más una linterna encendida que apagada?
La fórmula de Euler eπi +1 = 0 ha sido considerada, seguramente, como la fórmula más bella de las matemáticas. Reúne en una sola expresión conceptos numéricos aparecidos en diferentes contextos y que trataban de responder a problemas distintos: relaciona la unidad de la aritmética, con la unidad i de los números complejos, con el número π, fundamental en la geometría y en la trigonometría y relación entre el diámetro y la circunferencia y con el número e procedente del análisis base de los logaritmos naturales y que aparece como límite en el interés compuesto.
Algunas propiedades de la belleza matemática pueden ser: la sencillez, que consiste en expresar directamente una idea profunda para impactar en los sentimientos del ser humano; la capacidad evocadora para insinuar y despertar de imágenes, la capacidad sintetizar relacionar y unificar, varias ideas, dispares, aparentemente independientes o no relacionadas.
Podemos poner muchos ejemplos de teorías matemáticas bellas. La Teoría de Galois es una teoría matemática que nos puede servir de ejemplo para ver el nacimiento de una idea genial sobre la importancia de las permutaciones de las raíces de las ecuaciones algebraicas. Se puede observar el progresivo enriquecimiento del estudio de solución de las ecuaciones con el desarrollo de la teoría de grupos, con la que se amplió el concepto de simetría geométrica, tanto en las matemáticas, como en el terreno de la física,
La relación entre simetría e invariancia, que es claramente observable en figuras geométricas como el círculo, el cuadrado o en cualquier polígono regular, no está limitada al campo de la geometría, su existencia en otros ámbitos es patente.
La simetría (teoría de grupos) se aplicó en cristalografía en lo que fue el primer ejemplo de aplicación de la teoría de grupos a la solución de un problema de la ciencia. En 1891, E.S. Fedorov resolvió, mediante la teoría de grupos un problema central de la cristalografía, que fue catalogar los sistemas regulares de puntos en el espacio.
Pero seguramente donde el desarrollo de la idea de invariancia por simetría alcanza mayor profundidad, amplitud y belleza es en la física: E. Noether (1882-1935) demostró que a cada principio de conservación de una magnitud física (la energía, la cantidad de movimiento, etc) le correspondía una invariancia matemática de las leyes de la física. Dicho en términos más propios de la física, toda simetría continua (por ejemplo, una rotación espacial) del lagrangiano de un sistema físico, tiene asociada una magnitud física que se conserva.
Pero reflexiones como esta pertenecen a la belleza recóndita de las matemáticas y merecen análisis particulares más extensos.
Víctor Arenzana Hernández
