El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números naturales, a, b, c… es el menor múltiplo común esos números. Se escribe m.c.m (a, b, c…).
Para calcular el m.c.m (a, b, c…) se escribe la lista de los múltiplos de los números a, b, c… y el menor de los múltiplos comunes en las listas será el m.c.m (a, b, c…)
Suponemos que se sabe calcular el mínimo común múltiplo por métodos aritméticos (como por descomposición en factores primos y aplicaremos el cálculo del mínimo común múltiplo para resolver problemas de coincidencia en giros. Con esto queremos resumir problemas en los que varios vehículos dan vueltas a un circuito (como en las carreras de motos), conocidos en aritmética como problemas de relojes o para estudiar la periodicidad en las alineaciones de los planetas.
PROBLEMA 1.- Un coche da una vuelta a un circuito cada seis minutos, y un ciclista emplea veinte minutos. Si salen ambos de un punto del circuito a mediodía
- ¿A qué hora volverán a coincidir por primera vez en el punto de salida?
- ¿Cuántas veces habrá adelantado el coche al ciclista antes de coincidir en el punto de salida?
Respuesta:
Como coche y ciclista parten de un punto del circuito, cuando se vuelvan a encontrar en él ambos habrán dado un número entero de vueltas. Si el coche ha dado un número entero de vueltas x y el tiempo que ha empleado será 6x minutos. Si el coche ha dado un número entero de vueltas y habrá empleado será 20y minutos.
El tiempo T que han tardado el llegar al punto de partida será a la vez un múltiplo del 6 y un múltiplo de veinte, un múltiplo común de ambos y debe ser el más pequeño, esto es:
T = m.c.m. (6, 20) = 22·3·5 = 60 minutos.
Luego volverán a coincidir en el punto del que salieron sesenta minutos después, es decir a las 13h.
En los 60 minutos en los que ambos móviles vuelve a coincidir el coche habrá dado 60/6 = 10 vueltas y el ciclista habrá dado 60/20 = 3 vueltas.
El coche habrá pasado diez veces por cada punto del circuito antes de llegas al punto de salida y el ciclista tres, por lo tanto, el coche habrá alcanzado al ciclista siete veces. Habrá adelantado 10 – 3 = 7 veces
PROBLEMA 2, Un coche da en una hora 30 vueltas a un circuito y un ciclista da 12 vueltas en una hora: Si salen a mediodía de un punto del circuito.
- ¿A qué hora volverán a coincidir en el mismo punto?
- ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno?
- ¿Cuántas veces habrá adelantado el coche a la bici?
Respuesta:
El problema se puede reducir al anterior calculando el tiempo que les cuesta dar una vuelta al circuito a cada uno de los móviles. El coche en 60 minutos da treinta vueltas, luego empleará dos minutos en completar una vuelta y la bici 5 minutos. Si salen de un mismo punto, razonando como en el ejercicio anterior
T = m.c.m. (2,5) = 2 ·5 = 10 minutos¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno?
El coche habrá dado 10/2 = 5 vueltas y la bici 10/5 = 2
¿Cuántas veces habrá adelantado el coche a la bici?
El coche ha pasado cinco veces por cada punto del circuito antes de llegas al punto de salida y la bici dos por lo tanto el coche habrá alcanzado a la bici 5 -2= 3 veces.
PROBLEMA 3.- Un coche emplea 2 minutos en dar una vuelta a un circuito, una bicicleta tarda 6 minutos y una persona necesita 20 minutos en dar la vuelta al mismo circuito. Si los tres salen del mismo punto y al mismo tiempo,
¿Al cabo de cuánto tiempo coincidirán los tres y cuántas vueltas habrá dado cada uno al circuito?
Respuesta:
T = m.c.m. (2,6,20) = 60 del tiempo
Los tres coincidirán a los 60 minutos;
el coche habrá dado 30 vueltas, la bicicleta habrá dado 10 vueltas y la personas habrá dado 3 vueltas.
¿Cuántas veces habrán coincidido coche y bici antes del punto de? 20 veces
¿Cuántas veces habrán coincidido coche y persona antes del punto de? 27 veces
¿Cuántas veces habrán coincidido bici y persona antes del punto de? 7 veces
PROBLEMA 4: A qué horas, entre las 12 y las 24 horas se encontraran por primera vez la manecillas de un reloj después se las doce de mediodía.
¿A qué horas se volverán a superponer?
Respuesta:
Atacaremos el problema por el m.c.m. suponiendo que el horario y el minutero son dos móviles que dan vueltas a la esfera del reloj.
El minutero tarda 60 m en dar una vuelta a la esfera de 60 minutos y el horario emplea 12 horas = 720 minutos. Si parten de las 12 en punto se volverán a encontrar en en la misma posición en:
T = m.c.m. (60, 720) = 720 minutos = 12 horas
En ese tiempo el horario dará 720/720 = 1 vuelta y el minutero 720/60 = 12 vueltas con lo que la aguja minutero adelantará al horario 12 – 1 = 11 veces en las doce horas, es decir, el minutero adelantará al horario cada 12 : 11 = 1h 5m 27,27’’, por tanto se superpondrán las agujas del reloj por primera vez a las 1h 5m 27,27’’.
Se volverán a superponer 11 veces a intervalos de tiempo 1h 5m 27,27 s. Por tanto, las horas son:
1h 5m 27,27 s, 2h 10m 54,34s, 3h 16 m 21,81 s, 4h 21m 49,08s,
5h 27m 16,35 s, 6 h 32m 43,62s, 7h 38m 10,89s , 8h 43m 38,16 s,
9h 49m 5,43 s, 10h 54m 32,7 s, 12h
PROBLEMA 4: Un estudiante de Astronomía sabe que Júpiter da una vuelta alrededor del Sol en 12 años y Saturno en 30 años. Si sabe que la última vez que la Tierra, Júpiter y Saturno se alinearon fue hace seis años ¿en cuánto tiempo se volverán a alinear los 3 planetas en el mismo punto?
Respuesta:
Los periodos orbitales son: De la Tierra un año, de Júpiter doce años y de Saturno 30 años.
Si coincidieron alineados en un punto hace seis años, volverán a estar alineados cada intervalo de tiempo
T = m.c.m (1, 12, 30) = 60 años
Si estuvieron alineados hace seis años lo volverán a estar dentro de 60 – 6 = 54 años
