PROBLEMAS DE ARITMÉTICA BASADOS EN EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

El algoritmo de la división entera nos demuestra que Así, el algoritmo de la división dice más precisamente: Dados  dos números enteros a y b cualesquiera, que consideraremos positivos para evitar cuestiones de notación, es posible encontrar dos enteros q y r, tales a = bq + r que con  0 ≤  r < b . A q se le llama cociente y a r residuo y los dos números enteros q y r están unívocamente determinados.

PROBLEMA 1.- Demostrar que el cuadrado de cualquier entero es de la forma 3k o 3k +1

Solución:

Por el algoritmo de la división, dados dos números  n y 3, existen dos números q y r tales que n = 3q + r,   con 0 ≤ r < 3, lo que significa que  cualquier número n se puede poner en la forma

n = 3q + r,   con 0 ≤ r < 3 .

Es decir, r puede tomar los valores 0, 1 y 2. Y cualquier entero n (Y, por tanto, también n²) se puede expresar como un múltiplo de 3, un múltiplo e 3 más 1, o múltiplo e 3 más 2. Analizaremos la expresión de n²

n² = (3q + r)² = 9q² + 6qr + r² = 3(3q² + 2qr) + r² = 3k + r².    (k  = 3q² + 2qr)

Si r = 0   ⇒   n² = (3q²) + 0 = 3k   (n² es múltiplo de 3)  3k

Si r = 1   ⇒   n² = 3(3q² + 2q)+ 1   (n² es múltiplo de 3 más1)  3k+1

Si r = 2   ⇒   n² = 3(3q² + 4q) + 4 = 3(3q² + 4q+1) + 1  (n² es múltiplo de 3 más 1) 3k +1

No hay ningún n² que sea del tipo: un múltiplo de k +2,  (3k + 2)

PROBLEMA 2.- ¿Existe un número n entero, que sea cuadrado y se pueda expresar en la forma 5k +2?.

Solución: Debe existir un entero a > 0, tal que n = a². Por el algoritmo de la división cualquier entero, y en partículas a, podemos expresar a = 5k + r con 0 ≤ r < 5. El residuo r puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4. Desarrollando:

n = a² = (5k + r)²= 25k² +10kr + r² = 5(5k² +2kr) + r²

Si r = 0, entonces n = 5(5k²) = 5 k₁

Si r = 1, entonces n = 5(5k²+2k) + 1 + r² = 5 k₂+1

Si r = 2, entonces n = 5(5k²+4k) + 4 = 5 k₃ + 4

Si r = 3, entonces n = 5(5k²+ 6k) + 9 = 5(5k²+ 6k +1) + 4 = 5 k₄+ 4

Si r = 4, entonces n = 5(5k²+ 8k) + 16 = 5(5k²+ 6k + 3) + 1 = 5 k₅ + 1

Si n es un cuadrado será múltiplo de cinco, múltiplo de cinco más 1, o múltiplo de cinco más 4. No  existe cuadrado que se pueda expresas  como 5k +2 (ni 5k + 3)