Problema 1.- Probar que todo entero se puede escribir de la forma 3k+ r , siendo r = 0,1,2.
Solución: Por algoritmo de la división entera n = 3k+ r, donde k es el cociente y r es el resto que puede tomar los valores 0,1,2
Observación: Un variación del resultado anterior es que todo entero se puede escribir de la forma 3k+ r , siendo r = 0, 1,- 1. Ya que todo número o es de la forma n = 3k, n = 3k+1, n = 3k+ 2, pero la posibilidad n = 3k + 2 se puede escribir n = 3(k+1) -1 = 3 k’ – 1
Problema 2.- Probar que el producto de 3 números consecutivos es siempre un múltiplo de 6?
Solución: Sean los tres números: 3k, (3k+1),(3k+2)
Su producto será: 3k (3k+1)(3k+2) = (9k2 +3k)(3k+2) = 27k3 + 27k2 + 6k = 3( 9k2 + 9k + 2),
Para que el producto sea múltiplo de seis 9k2 + 9k + 2 debe ser múltiplo de 2 independientemente de la paridad de k.
SI k es par, entonces 9k2 + 9k + 2 es par, por ser pares los tres sumandos.
SI k es impar par 9k2 + 9k es par (por ser suma de dos números impares) y, por tanto, 9k2 + 9k + 2 es par
Con la expresión alternativa de tres impares consecutivos: 3k (3k+1)(3k-1) = 3k (9k2 – 1) = 3(9k3– k)
Para que el producto sea múltiplo de seis 9k3–k debe ser par independientemente de la paridad de k, que, evidentemente, lo es por ser diferencia de dos números impares.
Problema 3: Para cierto valor de n los números 5n + 16 y 8n + 29 tienen un divisor común mayor que 1 ¿Cuál es ese divisor?
SOLUCIÓN: Aplicaremos la propiedad: Si a|b y a|c entonces a | mb + nc .
Intentando eliminar la n. Si d es un divisor común de 5n +16 y 8n+29 , entonces también es divisor del numero: 5·(8n+29) – 8·(5n+16) = 40n + 145 – 40n -128 = 17. Luego ese divisor común, d, debe dividir a simultáneamente a 5n + 16, a 8n + 29 y a 17, y como d debe ser mayor que 1. En único divisor común es 17.
Nota: puede comprobarse que el “cierto valor de n” es 7 :
5n + 16, para n = 7 da 5·7+16 = 51 = 17 ·3
8n + 29, para n = 7 da 8·7 + 29 = 85 = 17·5
Problema 4.- Probar que el cuadrado de cualquier entero impar da resto 1 cuando lo dividimos por 8
Solución: Cualquier entero es de la forma 4k, 4k+1, 4k+2, 4k +3, por consiguiente, cualquier entero impar es de la forma 4k+1 o 4k+3, y sus cuadrados:
(4k+1)2 = 16k2 + 8k +1 = 8(2k2 + k) +1 y (4k+3)2 = 16k2 + 24k +9 = 8(2k2 + 3k) +1
Ambos dan de resto 1 al dividirlos por 8.
Problema 5.- Probar que 3 nunca puede dividir a n2+1
Solución: Cualquier número n se puede expresar en una de estas formas n = 3k, 3k+1, 3k+2
Si n es de la forma n = 3k, n2 = 9k2 , por tanto. n2 + 1 = 9k2 + 1 no es divisible por 3, ya que dará resto 1
Si n es de la forma n = 3k +1 entonces n2 = 9k2 + 6k +1 = 3(3k2+2k)+1, por tanto n2+1 = 3(3k2+2k)+2 no es divisible por 3, ya que dará resto 2
Si n es de la forma n = 3k +2, n2 = 9k2 +12k + 4 = 3(3k2+4k +1) +1, entonces n2+1, que es 3(3k2+4k+1) +2 no es divisible por 3, ya que dará resto 2
Problema 6.- El producto de cuatro enteros consecutivos es múltiplo de 24
Solución: Veremos que el producto de cuatro enteros consecutivos es divisible por 8 y por 3 a la vez.
- En el producto de cuatro números consecutivos: P = n (n+1) (n+2) (n+3) es siempre múltiplo de 8, ya que en P hay siempre dos factores pares (y, además, uno o dos factores que son múltiplos de tres). Como hay dos factores pares y son consecutivos uno será de la forma 2p y otro de la forma 2p +2, con p entero, y el producto:
2p (2p +2) = 4 p (p+1) = Múltiplo de ocho,
ya que uno de los dos: p o (p+1) tiene que ser par y, por tanto, p (p+1) es múltiplo de dos.
2.-Veremos que P = n (n+1) (n+2) (n+3) es múltiplo de 3.
El resto de la división de un número entero cualquiera entre tres puede dar 0, 1, o 2. Como en el producto P = n (n+1)(n+2) (n+3). En los cuatro factores consecutivos al dividir entre 3 se darán los tres restos (y alguno se repetirá), por lo tanto, uno de los factores (o dos) será múltiplo de tres, por tanto
P = n (n+1) (n+2) (n+3) es múltiplo de tres,
por lo tanto, P = n (n+1) (n+2) (n+3), que es múltiplo de tres y de ocho, es múltiplo de 24.
