PROBLEMA 1: Demostrar que todo cuadrado perfecto es de la forma 3k, o 3k+1
Demostración: Por el algoritmo del cociente sabemos que cualquier número entero puede escribirse en la forma a = 3k + r y r puede tomar los valores 0, 1, 2.
Solución: Elevando a2 = (3k + r)2 = 9k2 + 6kr + r2 = 3(3k2+ 2kr) + r2
Si r = 0 a2 = 3(3k2) = 3 k’2
Si r =1 a2 = 3(3k2 + 2k) +1 = 3 k’2 + 1 deja residuo 1
Si r = 2 a2 = 3(3k2 + 4k) + 4 = 3(3k2 + 4k +1) + 1 = 3 k’2 +1 deja residuo 1
Esto significa si un número entero positivo da resto 2 al dividir entre 3, entonces no es cuadrado perfecto.
PROBLEMA 2: Demostrar que para cualquier terna pitagórica a2 + b2 = c2, alguno de los números a, b, c es divisible por tres.
Solución: Analicemos la ecuación pitagórica a2 + b2 = c2 según sus residuos al dividir entre 3. Observemos, que por el ejercicio anterior, como a2, b2 , c2 son cuadrados perfectos únicamente dan resto 0 o 1 al dividir por tres. Entonces:
Si a2 diera resto 0 al dividir por 3, entonces a2 sería múltiplo de tres y estaría demostrado.
Si a2 diera resto 1 al dividir por 3, entonces, b2 daría resto 0 al dividir por tres, pues si diera resto sería 1, c2, que es cuadrado perfecto e igual a a2 + b2 daría resto 2, lo que es absurdo. Por tanto, si a2 diera resto 1 al dividir por 3, b2 daría resto 0 al dividir por tres.
PROBLEMA 3: Probar que ningún cuadrado es un múltiplo de cuatro más dos unidades, es decir, ningún cuadrado se puede expresar en la forma 4k +2
Solución: Por el algoritmo de la división cualquier número entero, n, se puede escribir en la forma
n = 4q + r con 0 ≤ r < 4
Analizaremos cuales son los restos r para n2
n2 = (4q + r)2 = 16q2+ 8 qr + r2 = 4(4q2+2qr) + r2 = 4k + r2
El resto r puede tomar los valores 0, 1, 2, 3
Si r = 0 ⇒ n2 = 4(4q2) ⇒ n2 = 4k
Si r = 1 ⇒ n2 = 4(4q2 + 2q)2 + 1 = 4k + 4 = 4(k+1) = 4k’
Si r = 2 ⇒ n2 = 4(4q2 + 4q)2 + 4 = 4k + 4 = 4(k+1) = 4k’
Si r = 3 ⇒ n2 = 4(4q2+6q) + 9 = 4(4q2+ 6q+2) + 1= 4k +1
Luego los cuadrados se pueden expresar en la forma 4k y 4k +1, pero no se pueden expresar en la forma 4k +2
PROBLEMA 4: Probar que ningún número de la forma n = 62, 6262, 626262, …, 62626262 es un cuadrado
Solución: Todo número de la forma n = 6262 … 626262 se puede escribir en la forma
n = 6262 … 626260 + 2 = 4k+2,
ya que 6262 … 626260 es múltiplo de 4, ya que acaba en 60, que es múltiplo de 4
Por el algoritmo de la división cualquier número entero, n, se puede escribir en la forma
n = 4q + r con 0 ≤ r < 4
Analizaremos cuales son los restos r para n2
n2 = (4q + r)2 = 16q2+ 8 qr + r2 = 4(4q2+2qr ) + r2 = 4k + r 2
El resto r puede tomar los valores 0, 1, 2, 3
Si r = 0 ⇒ n2 = 4(4q2) ⇒ n2 = 4k
Si r = 1 ⇒ n2 = 4(4q2 + 2q)2 + 1 = 4k + 4 = 4(k+1) = 4k’
Si r = 2 ⇒ n2 = 4(4q2 + 4q)2 + 4 = 4k + 4 = 4(k+1) = 4k’
Si r = 3 ⇒ n2 = 4(4q2+6q) + 9 = 4(4q2+ 6q+2) + 1= 4k +1
Los cuadrados se pueden expresar en la forma 4k y 4k +1, pero no se pueden expresar en la forma 4k + 2.