En las viejas colecciones de problemas se recogen algunos que son ciertamente transversales, unos porque nos informan de cuestiones históricas, otros porque están versificados y con un enunciado corto pueden desarrollar el gusto pos la lengua. Muchos son de los llamados problemas de letra, relacionados con la vida cotidiana, otros nos están relacionados con las edades de primos, abuelos hermanos y parientes, otros están clasificados en problemas de móviles, mezclas o porcentajes y, en casi todos, hay algo de lógica, que nos hace pensar. Partiendo de nuestra lenguaje llegamos a resolver problemas numéricos es como disfrutar de un paseo por el monte antes de alcanzar la cima y contemplar el panorama.
PROBLEMA 1: Un ladrón, un cesto de naranjas del mercado robó
y entre los huertos escapó.
Al saltar una valla, la mitad más media perdió.
Perseguido por un perro, la mitad menos media abandonó.
Tropezó en una cuerda y la mitad más media desparramó.
En su guarida, dos docenas guardó.
Vosotros, los que buscáis sabiduría, decidnos,
¿cuántas naranjas el ladrón robó?
Respuesta:
Resolveremos el problema razonando de atrás hacia adelante.
Partimos de las 24 naranjas que guardó en su guarida.
Pierde la mitad más media al tropezar con la cuerda», luego en ese momento tenía el doble + 1 naranjas, es decir: 24 × 2 + 1 = 49.
Perseguido por un perro la mitad menos media perdió», por lo tanto, en ese momento, tenía el doble menos una naranja, es decir: 49 × 2 – 1 = 97.
Al saltar la valla la mitad más media perdió al saltar la valla», por lo tanto, tenía el doble + 1 naranjas, es decir: 97 × 2 + 1 = 195.
El ladrón robó 195 naranjas.
PROBLEMA 2: Dos ladrones vienen de robar naranjas, un ladrón le dice al otro: Dame una de tus naranjas y tendré el doble que tú y el otro dijo mejor tú dame una de tus naranjas y tendremos igual ¿Cuántas naranjas tiene cada uno?
Respuesta: Uno tiene x y otro y.
El primer ladrón (x+1) = 2( y-1) ⇒ x = 2y- 3
Segundo ladrón: y + 1 = x-1 ⇒ y = x – 2 , por tanto x= 7 y y= 5 naranjas
PROBLEMA 3: Cuatro obreros han cobrado 65.000ptas. por su trabajo. Sabiendo que el primero ha realizado los 2/8 del trabajo, el segundo 1/3, el tercero 2/7 y el cuarto el resto. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?.
Respuesta: En primer lugar reduzcamos las fracciones de trabajo de los tres primeros trabajadores a común denominador que es 84 (2/8, 1/3, 2/7) (simplificando la primera fracción) (21/84, 28/84, 24/84), por tanto, el cuarto trabajador habrá realizado 11/84 partes del trabajo:
(21/84, 28/84, 24/84, 11/84)
Habrá que hacer un reparto de las 65.000 pesetas directamente proporcional a:
21, 28, 24, 11
Les corresponden 16250, 21667, 18571,5 y 8512 respectivamente
Problema 4: Una fuente cuenta con cuatro grifos que han arrojado un total de 12’6 m3. El primero ha estado abierto 1 hora y 20 minutos; el segundo, 90 minutos; el tercero, una hora y cuarto, y el cuarto, dos horas menos cuarto. ¿Cuántos litros ha arrojado cada grifo?.
Respuesta: Los grifos han estado abiertos 80, 90, 75 y 105 minutos, en total 350 minutos y en ese tiempo han echado 12’6 m3 = 12600 litros de agua ⇒ 36 litros/m
Por tanto, cada uno ha vertido
36×80 = 2888 36×90 = 3240 36×75 = 2700 36×105 = 3780 litros de agua
PROBLEMA 5.- La vida de Diofanto. La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático.
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh milagro!, cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubríosle su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan sólo la mitad de la de su padre a la tierra. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo
Solución: Llamando x a la edad de Diofanto planteamos la ecuación:
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 ⇒ (denominador común 420) ⇒
⇒ 420 x = 70x + 35 x + 60x + 210x +3360 ⇒ 420x = 375x + 3780 ⇒
⇒ 420x = 375x + 3780 ⇒ 45x = 3780 ⇒ x =84
PROBLEMA 6.- TESTAMENTO CURIOSO. Un hombre, cuya mujer está a punto de dar a luz, muere, disponiendo en su testamento lo siguiente: «Si la criatura que va a nacer es niño, éste se llevará 2/3 de la herencia y 1/3 la madre. Si es niña, ésta se llevará 1/3 y 2/3 la madre.» Las posesiones del padre eran únicamente 14. Para complicar las cosas, sucedió que nacieron mellizos, niño y niña. ¿Cómo deben repartirse las 14 vacas entre los tres? Respuesta:
Solución:
El cualquiera que fuera la solución antes de la llegada de los mellizos parece que pasaba por dividir alguna vaca en tres partes. Pero ante la nueva situación se simplifican las cosas si tenemos en cuenta la exigencia del testamento:
Si la criatura que va a nacer es niño, se llevará el doble de la herencia que la madre.
Si es niña, ésta se llevará la mitad que la madre
Luego si x es el número de vacas que recibe la hija, la madre recibirá 2x y el hijo 4x
Para repartir las catorce vacas: y cumplir con el testamento: x + 2x+ 4x =14 ⇒ x=2
Luego el reparto será: 8 vacas para el hijo, 4 para la madre y 2 para la hija.
