Problema 1. Halla todos los enteros positivos n que cumplan: (n + 1)|(5n + 17)
Solución: Procederemos por reducción al absurdo. Supongamos que (n + 1)|(5n + 17). También sabemos que (n + 1)|5(n + 1), por tanto (n+1) divide a la diferencia, esto es:
(n +1)|(5n + 17 − 5n − 5) ⇒ (n + 1)|12,
de modo que n + 1 debe ser uno de los divisores de 12,
es decir, n + 1 debe ser 1, 2, 3, 4, 6, 12, conclusión: n ∈ {1, 2, 3, 5, 11}
Problema 2. Halla todos los enteros positivos n tales que (n + 1)|(4n + 15)
Solución: Supongamos que (n + 1)|(4n + 15). También sabemos que (n + 1)|4(n + 1), también dividirá a (n + 1)|(4n + 15)- 4n-4 ⇒ (n + 1)|11 por lo tanto ningún n cumple la condición.
Problema 3. Halla todos los enteros positivos n tales que (2n + 1)|(4n + 20)
Solución: Supongamos que (2n + 1)|(4n + 20). También sabemos que (2n + 1)|2(2n + 1) y también dividirá a (2n + 1)|(4n + 22)- 4n-4 ⇒ (2n + 1)|18 ⇒ 2n +1 será 1,2,3,6,9 o 18 ⇒ n ∈ {1, 4}.
Problema 4. Halla todos los enteros positivos n tales que (2n + 7)|(6n + 45)
Solución: Supongamos que (2n + 7)|(6n + 45). También sabemos que (2n + 7)|3(2n + 7), ⇒
⇒ también dividirá a su diferencia (2n + 7)|(6n + 49)- 6n-21 ⇒ (2n + 7)|28 ⇒
⇒ (2n + 7) será n = 1, 2, 4, 7, 14, 28 . No existe ningún valor entero positivo de n.
Problema 5. Halla todos los enteros positivos n tales que (n – 1)|(18n2-24n+6)
Solución: Si (n -1)|(18n2-24n+6) ⇒ (factorizando) (n -1)|(6n+2) (3n+2)
(n -1) tiene que dividir a (6n+2) o a (3n+2)
Si (n – 1)|(6n+2) ⇒ (n -1)|6(n-1) ⇒ (n -1) |8 n =2, 3, 5, 9
Si (n – 1)|(3n+2) ⇒ (n -1)|3(n-1) ⇒ (n -1) |5 n =2, 6
Luego ⇒ n ∈ {2, 3, 5, 6, 9}.
Problema 6. Encuentra todos los números de dos cifras cuyo cuadrado termina en esas mismas dos cifras.
Solución. Observemos que si restamos al cuadrado del número el número se obtiene, la diferencia terminará en dos ceros, es decir, un múltiplo de 100.
Sea el número original a sabemos que a2 − a = (a − 1)a = k · 100 para algún entero k. Por tanto, a − 1 y a tienen que contener los divisores del 100, dos doses y dos cincos. Además, los números a −1 y a son coprimos, por ser enteros consecutivos, por lo que uno debe ser múltiplo de 25 y el otro, de 4.
Por otra parte, múltiplos de 25 menores de 100 sólo hay tres (a tiene dos cifras): 25, 50 y 75)
si a − 1 = 25, 4 ∤ a = 26, No hay solución
si a = 25, 4|a − 1 y tenemos una solución a =25
si a = 50, 4 ∤ a − 1, No hay solución
si a − 1 = 50, 4 ∤ a y,
si a = 75, 4 ∤ a – 1, No hay solución
si a − 1 = 75, 4|a, tenemos una solución a=26.
Respuesta: a = 25 o a = 76.
