Dos números enteros positivos a y b son primos entre sí, primos relativos o coprimos si no tienen otro factor común distinto de 1. Es decir, no se puede dividir exactamente ambos números por un mismo número entero.
Hay varias definiciones equivalentes de que a y b son primos entre sí;
- Si no hay ningún primo p que divida a a y a b
- Si mcd (a, b ) = 1
- Si la fracción a/b es irreducible.
Ejemplo: Los números 4 y 21 son primos entre si porque su único factor común es 1, ya que 4 es divisible por 2, pero 21 no, y 21 es divisible por 3 y por 7, pero 4 no. Puede comprobarse que m.c.d (4, 21) =1 y que la fracción 4/21 es irreducible.
El concepto de primos entre sí puede extenderse a más de dos números, Los enteros a, b y c son primos entre sí;
- Si no hay ningún primo p que divida a a, a b y a c
- Si mcd (a, b, c ) = 1
Ejemplo: 7, 15 y 21. No son primos entre sí ya que los divisores primos de esos números son 3, 5 y 7. Observemos 3 divide a 15 y a 21, pero no a 7; 5 divide a 15, pero no a 7 ni a 12 y 7 no divide a 15 aunque divide a 7 y 21 luego, su único divisor común es 1.
PROBLEMA 1.- ¿Cuantos números de tres cifras hay que sean primos con 6?
Respuesta:
De 100 a 999 hay 900 números enteros
El conjunto de múltiplos de 2 (de 100 a 998), que llamaremos A, tiene 450 elementos ya que:
998= 100+ (n-1) 2 ⇒ n = 450
El conjunto de múltiplos de 3 (de 102 a 999), que llamaremos B, tiene 300 elementos, ya que:
999= 102+ (n-1)3 ⇒ n = 300
El conjunto de múltiplos de 6 (de 102 a 999), que llamaremos C, tiene 150 elementos, ya que:
999= 102+ (n-1)6 ⇒ n = 150
Teniendo en cuenta que C = A∩B, tenemos que
Card( AUB) = Card (A) + Card (B) – card (A∩B) = 450 + 300 – 150 = 600
Primos con seis hay 900- 600= 300
PROBLEMA 2.- Demostrar que si se escogen al azar n + 1 enteros menores o iguales que 2n, al menos dos de ellos son primos entre sí
Respuesta: demostraremos en primer lugar que dos números consecutivas son primos y entre si y después que si elegimos al azar n+1 números enteros menores que 2n, necesariamente tiene que haber dos números consecutivos y, por consiguiente, primos entre sí.
Demostraremos que dos números consecutivos son siempre primos entre sí por reducción al absurdo Sean m y m+1 dos números naturales consecutivos. Supongamos que no son primos entre sí: entonces existe un número r ∈ N, r≠1, factor común de m y m+1, tales que
m = r·a y m + 1= r·b. siendo a y b enteros a, b ∈ N
Despejando a y b, tenemos que a = m/r y b =(m+1)/ r = mr+1/r = a+1/r
Pero como r ≠1 y a ∈N, b = a + 1r, no es natural, lo que contradice que b∈N. Por lo tanto, no existe el r supuesto y por lo tanto, m y m+ 1 son primos entre sí.
Evidentemente, tomando n + 1 números menores o iguales que 2n, al menos dos de ellos se diferencian en una unidad. Escogemos la mitad más 1 de los elementos que componen el conjunto, por lo que, en el caso más desfavorable, dos de ellos son consecutivos.
PROBLEMA 3. Dado un número natural n y se define An = (3 – 2√2)n = an+ bn√2 , sabemos que an y bn son números enteros. Demostrar que an y bn son primos entre si.
Respuesta:
Veamos que A1, A2, A3 y A4 lo cumplen
A1 = (3 – 2√2)1 ⇒ a1 = 3 , bn = 1 y mcd (3,1) = 1
A2 = (3 – 2√2)2 = 17 – 12√2 a2 = 17 , b2 = 12 y mcd (17,12) = 1
A3 = (3 – 2√2)3 = (3 – 2√2)2 (3 – 2√2) = 99 – 70√2 a3 = 99 , b3 = 70 y mcd (99,70) =1
A4 = (3 – 2√2)4 = (3 – 2√2)3 (3 – 2√2) = 577 – 408√2, a4 = 577, b4 = 408 y mcd (577,408) =1
…….
En general:
A n+1 = (3 – 2√2)n+1 = an+1+ bn+1√2
A n+1 = (3 – 2√2)n (3 – 2√2) = (an+ bn√2) (3 – 2√2) = (3an– 4 bn) + (-2an+3 bn) √2
Igualando:
an+1 = 3an– 4 bn y bn+1 = -2an + 3 bn
De donde
an = 2an+1 + 3bn+1 y bn = -3an+1 – 4 bn+1
Si an+1 y bn+1 tuvieran un factor común también lo tendrían an y bn y el proceso se puede repetir, resultando que:
mcd(an+1, bn+1) = mcd(an, bn) = mcd(an-1, bn-1) = …..= mcd(a1, b1) = 1
Por lo tanto an y bn son número primos entre si
[ver ( http://wpd.ugr.es/~jmmanzano/preparacion/apuntes.php?id=3 ]
PROBLEMA 4.- Encontrar dos números enteros distintos sabiendo que la suma de su mcd más su mcm es 76
Respuesta: Sean los números buscados a y b. Llamaremos m = mcm (a,b) y d = mcd (a,b)
Entonces: a = a’·d y b = b’·d y a’ y b’ serán primos entre si [mcd (a’, b’)=1]
Sabemos que m + d = 76 ⇒ d·[(m/d) +1)] = 76 , como m/d = a’·b’ ⇒ d·[a’·b’+1)] = 76
Como 76 tiene las factorizaciones 76 = 1·76 = 2·38 = 4·19
- a’·b’+1 = 76 y d = 1 ⇒ a’·b’ = 75 = 3·25 ⇒ a’ = a = 25 y b’ = b = 3.
a = 25 y b = 3 lo cumplen, ya que m = mcm (3,25)= 75 y mcd (3,25) = 1
- a’·b’+1 = 38 y d = 2 ⇒ a’·b’ = 37 = 1·37 ⇒ a’ = 1, a = 2 y b’ = 37, b = 74
a = 2 y b = 74 lo cumplen, ya que m = mcm (2,74)= 2 y mcd (2,74) = 2
- a’·b’+1 = 19 y d = 4 ⇒ a’·b’ = 18 = 2·9 ⇒ a’ = 2 , a = 8 y b’ = 9, b = 36
a = 8 y b = 36 lo cumplen, ya que m = mcm (8, 36)= 72 y mcd (8, 36) = 4
- a’·b’+1 = 4 y d = 19 ⇒ a’·b’ = 3 = 1·3 ⇒ a’ = 1, a = 19 y b’ = 3, b = 57
a = 8 y b = 36 lo cumplen, ya que m = mcm (19, 57)= 57 y mcd (19, 57) = 19
- a’·b’+1 = 1 y d = 76 (no ya que a’·b’ = 0 y a o b son cero)
- a’·b’+1 = 2 y d =38 (no ya que a’·b’ = 1, por tanto, como a y b son enteros, a = b = 38 )
