La numeración posicional fue introducida en occidente a finales del siglo X y fue una de las principales aportaciones de la Edad Media a las matemáticas. Supuso la superación de la numeración romana, planteó una forma más accesible al mundo de las matemáticas que la dura y coherente y rigurosa geometría de Euclides y abrió nuevos caminos a la matemática comercial y al álgebra. En este apartado emplearemos la notación: abc =100a+10b + c
PRIMERO.- Demostrar que un número de la forma N = aabb es múltiplo de 11 y calcula el cociente de N entre 11. ¿Qué condición tienen que cumplir a y b para que N sea divisible por 121?
Solución: N = aabb = 1000a + 100 a + 10 b + b = 1100a + 11b = 11(100a + b)
Por lo tanto N es múltiplo de 11 y el cociente será 100a + b = a0b
Es decir que, por ejemplo, 6677 es divisible por 11 y el cociente es 607
La condición que se tiene que cumplir para que N sea divisible por 121 es que 100a + b = a0b sea divisible por 11. Aplicando el criterio de divisibilidad por 11 ⇒ a+b = 11, los números son:
2299, 3388, 4477, 5566, 6655, 7744, 8833 y 9922
SEGUNDO.- ¿Existe algún cuadrado de la forma aabb?
Solución: N = aabb = 1000a + 100 a + 10 b + b 1100a + 11b = 11(100a + b),
Como 11 es número primo, para que N sea cuadrado 100a+ b debe ser múltiplo de 11 y, aún más, igual a 11 multiplicado por un cuadrado perfecto. Debe cumplir a0b sea múltiplo de 11, esto es, que a + b = 11, multiplicado por un cuadrado perfecto.
209, 308, 407, 506, 606, 704, 803, 902
209 = 11·19 (no) 308=11·28 (no) 407=11·37(no) 506= 11·46 (no)
605 =11·55 (no) 704= 11·64 (sí), 803=11·73 (no) 902=11·82 (no)
Sólo es cuadrado 7744 =121·64
TERCERO.- ¿existe algún cuadrado de la forma abab?
Solución: N = abab = 1000a + 100 b + 10 a + b = 1010a + 101b = 101(10a + b). El 101 es un número primo y, como a y b son cifras, son menores o iguales que 9, por lo tanto, 10a + b, será menor que 101 y N no será cuadrado.
CUARTO.- Demostrar que si a y b son dos números naturales cualesquiera, entonces a, b , a-b, o a+b son múltiplos de tres.
Solución: Si a o b son múltiplos de tres ese cumple: Si no fueran múltiplos de tres se pueden dar cuatro casos
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- a =3k+1 b =3k’+1 ⇒ a-b = 3(k-k’)
- a =3k+1 b =3k’-1 ⇒ a+b = 3(k+k’)
- a =3k-1 b =3k’+1 ⇒ a+b = 3(k+k’)
- a =3k-1 b =3k’-1 ⇒ a-b = 3(k-k’)
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Con lo cada en cada caso a-b o a+b son múltiplos de tres.
QUINTO.- a) Demuestra que todos los números capicúas de cuatro cifras son múltiplos de 11. b) La diferencia entre dos capicúas consecutivos es constante
Solución: a) Sea el capicúa abba, luego
abba = 1000a+100b+10b +a =1001a+110b =11(91a+10b)
por lo tanto el número abba es múltiplo de 11.
El capicúa siguiente de un capicúa presenta dos situaciones según que b sea 9 o distinto de 9. Las situaciones las ilustramos con estos ejemplos:
El capicúa siguiente de 2332 es 2442 y el siguiente de 2992 es 3003.
Si b = 9 el capicúa siguiente de abba es (a+1)00(a+1), entonces (a+1)00(a+1) – a99a = 0011 = 11
Si b ≠ 9 el capicúa siguiente de abba es a(b+1)(b+1)a, entonces a(b+1)(b+1)a – abba = 0110 = 110
Luego hay dos posibles diferencias 11 y 110.
SEXTO.- Un ciclista que, rueda con velocidad constante, pasa por un punto kilométrico que lleva las cifras ab una hora después pasa por otro punto kilométrico que lleva el número ba y una hora mas tarde pasa por otro que lleva el punto kilométrico a0b. Determina los puntos kilométricos por los que pasó y la velocidad del ciclista.
Solución:
Primer punto kilométrico ab = 10 a + b
Segundo punto kilométrico ba = 10 b + a
Tercer punto kilométrico a0b = 100 a + b
Como el ciclista lleva velocidad constante:
100 a + b – (10 b + a) = (10 b + a) – (10 a + b) ⇒
99a – 9b = 9b – 9a ⇒ 108 a = 18b ⇒
⇒ 6a = b
Como a y b son cifras, no pueden superar el 9, por lo tanto, a =1 y b = 6 , luego los puntos kilométricos son 16, 61 y 106 y la velocidad del ciclista 45 km/h
