Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986) fue un matemático indio apasionado por la Teoría de Números. Se formó en matemáticas en el Fergusson College de Pune, en el que ingresó en 1923. Desde muy temprano sintió una pasión por el estudio de las propiedades de los números. En 1927, ganó un premio matemático el Premio Matemático Wrangler RP Paranjpe por su trabajo matemático original. En 1929, comenzó a trabajar de maestro en una escuela en Devlali hasta dejar la docencia en 1962 para jubilarse; pero su pasión le hacía seguir trabajando en las propiedades de los números enteros. Como diría más tarde: Un alcohólico desea seguir bebiendo para recuperar un estado de placer. A mí me ocurre lo mismo con los números. Pero su pensión de jubilación no le llegaba para vivir dignamente y tuvo que dedicarse a realizar pequeños trabajos. Sin embargo, siguió con sus investigaciones y publicó varios libros de matemática recreativa y algunos artículos, que permanecieron en el anonimato y eran desconocidos, tanto porque sus trabajos no fueron apreciados por los matemáticos indios, como porque, en su mayoría, se publicaron en revistas de matemáticas de bajo nivel o en publicaciones privadas. Pero la fama internacional le llegó cuando Martin Gardner (1914-2010) escribió sobre Kaprekar en espacio de Mathematical Games de Scientific American de marzo de 1975. Murió en 1986 en Devlali y su nombre es bien conocido y reconocido, además, otros matemáticos han seguido estudiando de las propiedades que descubrió.
LA CONSTANTE DE KAPREKAR (para un número de 4 cifras): El número 6174 es conocido como constante de Kaprekar en honor al matemático que la descubrió y presentó en la Conferencia de Matemáticas de Madrás de 1949. Presentó un algoritmo que, aplicado a cualquier número natural de cuatro dígitos, conducía siempre al número 6174.
El número 6174 parece un número cualquiera, pero lleva intrigando a matemáticos y entusiastas de la teoría de los números desde 1949. El algoritmo para lograrlo es el siguiente:
Paso1. Eligir cualquier número de cuatro cifras que contenga, al menos dos cifras diferentes, incluido cero. Por ejemplo, 1234
Paso2. Ordena las cifras del número elegido en orden descendente. En nuestro ejemplo, 4321
Paso 3. Ordena las cifras del número elegido en orden descendente. En nuestro ejemplo: 1234
Paso 4. Resta el número más pequeño del mayor: En nuestro ejemplo:4321 – 1234
Paso 5. Y ahora repite los tres últimos pasos con los sucesivos resultados
Se acabará llegando a la constante de Kaprekar; 6147
Ejemplo 1 : Comprobémoslo con el número 3659:
- 9653 – 3569 = 6084
- 8640 – 0468 = 8172
- 8721 – 1278 = 7443
- 7443 – 3447 = 3996
- 9963 – 3699 = 6264
- 6642 – 2466 = 4176
- 7641 – 1467 = 6174
- 7641 – 1467 = 6174
Ejemplo 2: Tratemos con otro número 2024
- 4220 – 0224 = 3996
- 9963 – 3699 = 6264
- 6642 – 2466 = 4176
- 7641 – 1467 = 6174
- 7641 – 1467 = 6174
Con cualquier número siempre se llega a 6174 y a partir de ese resultado, se repite, con una y otra vez. Hasta la actualidad no se ha descubierto un gran teorema en la teoría de números, que involucre, la constante de Kaprekar. Pero como el resultado ha traspasado las fronteras de la India, muchos matemáticos se han intrigado por la propiedad. Y, como Kaprekar, han seguido jugando con sus números.
Elprofesor Yutaka Nishiyama (n.1948), de la Universidad de Economía de Osaka, escribió un artículo en el que estableció, con ayuda de un ordenador, que el máximo número de pasos para alcanzar el 6174 era 7.
LA CONSTANTE DE KAPREKAR (para un número de 3 cifras): Es el número es 495
Los comprobaremos con el número 563
- 653 – 356 = 297
- 975 – 579 = 396
- 963 – 369 = 594
- 954 – 457 = 497
- 754 – 457 = 297
- 972 – 279 = 693
- 963 – 369 = 594
- 954 – 459 = 495
- 954 – 459 = 495
En otras exploraciones se descubrió que el mismo fenómeno ocurre cuando en vez de empezar con números de cuatro dígitos comienzas con los de tres.
Con número de tres y cuatro cifras llegamos a una constante, cosa que no sucede, en general cuando partimos de números de dos cifras
SECUENCIA DE KAPREKAR (para un número de 2 cifras) Si se aplica el proceso de Kaprekar a números de dos cifras se observa que no existe una constante. En su lugar, existe una secuencia que se repite cíclicamente y que se conoce como la “sucesión de Kaprekar”. Esta sucesión es 9, 81, 63, 27, 45:
Partimos de 57:
- 75 – 57 = 18
- 81- 18 = 63
- 63 – 36 = 27
- 72 – 27 = 45
- 54 – 45 = 09
- 90 – 09 = 81
- 81 – 18 = 63
- 63 – 36 = 27
- 72 – 27 = 45
- 54 – 45 = 09 (y la secuencia se repite)
Esta secuencia se repite para cualquier número de dos cifras, ejemplo 92:
92- 29 = 63; 63 -236 = 27; 72 – 27 = 45 y sigue la secuencia
Para números de cinco cifras tampoco existe una constante de Kaprekar, pero, existen tres posibles secuencias a las que cualquier número converge:
- Secuencia 1: 53955, 59994.
- Secuencia 2: 61974, 82962, 75933, 63954.
- Secuencia 3: 62964, 71973, 83952, 74943.
Se ha probado que a cualquier número de cinco dígitos tras aplicarle el proceso de Kaprekar, converge a uno de estos tres ciclos en, como máximo, cinco iteraciones.
