Un reparto proporcional es el que se hace dividiendo la cantidad que se desea distribuir en partes proporcionales a unos números que se llaman índices de proporcionalidad. Por ejemplo, repartir las ganancias que han obtenido tres personas en un negocio en el que han invertido cantidades distintas, a, b y c. En este caso, la proporcionalidad que se muestra aquí es la proporcionalidad directa, ya que a mayor inversión le corresponde obtener, mayor cantidad en los beneficios; los índices de proporcionalidad son a, b y c.
Pero también podríamos hacer un reparto inversamente proporcional, que consiste en realizar un reparto directamente proporcionan a los índices de proporcionalidad, que, en la práctica, consiste en reducir los inversos 1/a, 1/b, 1/c a común denominador y hacer un reparto directamente proporcional a los numeradores
Problema 1.– Repartir 420 €, entre tres niños en partes directamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.
Solución: Los índices de proporcionalidad son 3, 5 y 6.
De los 420 € habrá que hacer 3 + 5 + 6 = 14 partes.
El primer niño recibirá (420/14) ·3 = 90 €
El segundo niño recibirá (420/14) ·5 = 150 €
El tercer niño recibirá (420/14) ·6 = 180 €
Problema 2.- Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.
Solución: Los índices de proporcionalidad son 1/3, 1/5 y 1/6, reduciéndolos a común denominador 10/30, 6/30 y 5/30
De los 420 € habrá que hacer: 10 + 6 + 5 = 21 partes.
El primer niño recibirá: (420/21) ·10 = 200 €
El segundo niño recibirá: (420/21) ·6 = 120 €
El tercer niño recibirá: (420/21) ·5 = 100 €
CABALLOS 1: Tres hermanos tienen que repartirse la herencia de su padre que consistía en 35 caballos pura sangre. El testamento indicaba que el mayor debía quedarse la mitad, el mediano con una tercera parte y el pequeño una novena parte de los caballos. Como no podían hacer las divisiones enteras, los hermanos consultaron a un matemático que dio la siguiente solución con la que todos quedaron satisfechos:
Solución: El matemático, como no podía obtener exactamente ni la mitad, ni la tercera parte, ni la novena de los 35 caballos, les añadió un caballo uno de su propiedad y les propuso hacer el reparto, tal y como indicaba el testamento, y repartir 36 caballos. El mayor se recibiría la mitad de 36, que eran 18 caballos, el mediano heredaría la tercera parte, que eran 12 y el pequeño 4. Los hermanos quedaron satisfechos con el reparto, pero habían recibido en total 18 + 12 + 4 = 34 caballos y sobraban 2 caballos que se quedó el matemático en pago a su consejo.
Otro asesor, menos avezado en matemáticas abordó el mismo problema pero con 23 caballos y las siguiente clausulas testamentarias:
CABALLOS 2: Los tres hijos heredan 23 caballos y el mayor debe recibir la mitad, el mediano una tercera parte y el menor una sexta parte de los caballos.
Solución: Si el matemático consultado en este caso sigue el método del matemático anterior. Observa que de 23 (que es número primo) no hay no mitad, ni tercera, ni sexta parte exactas. Añade un caballo, con lo que tiene 24 caballos y puede calcular; la mitad, que es 12, la tercera parte, que es 8, y la sexta parte, que es 4. Pero ha repartido 12 + 8 + 4 = 24 caballos, con lo que el matemático ha perdido su caballo.
CABALLOS 3: Los tres hijos heredan 23 caballos y el mayor debe recibir la mitad, el mediano una tercera parte y el menor una octava parte de los caballos
Solución: Observa que de 23 (que es número primo) no hay no mitad, ni tercera, ni octava parte exactas. Añade un caballo, con lo que tiene 24 caballos y puede calcular; la mitad, que es 12, la tercera parte, que es 8, y la octava parte, que es 3. Los hermanos quedaron satisfechos con el reparto. Pero ha repartido 12 + 8 + 3 = 23 caballos, con lo que el matemático recupera su caballo.
CABALLOS 4: Los tres hijos heredan 35 caballos y el mayor debe recibir la mitad, el mediano una cuarta parte y el menor una novena parte de los caballos
Solución: Añadiendo un caballo el matemático tenemos 36. Los hermanos aceptan el reparto y reciben 18, 9 y 4 caballos respectivamente, en total 18 + 9 + 4 = 31 y sobran cuatro que se lleva el matemático.
Solución curiosa: 1/2+1/4+1/9 = (18 + 9 + 4)/36 =31/24. Añado un caballo y me llevo cuatro
Problema 3: Tres socios se repartieron cierta cantidad de dinero directamente proporcional a los números 7, 9 y 15 respectivamente. Si el segundo hubiera recibido 2 400 € más, tendría tanto como recibió el tercero, ¿Cuánto le correspondió al tercero? ¿Cuánto dinero se repartieron?
Solución: El reparto consiste en hacer 31 partes (7+9+15). Por lo tanto, como el la tercera persona recibe 15 partes y la segunda 9 partes, cada parte será 2400/6 = 400 €.
El tercero recibe 15×400 =6000 €
En total del dinero repartido será 31 x 400 = 12400 €
Problema 4: Un padre desea repartir cierta suma de dinero entre tres hijos: Juan, Pedro y Pablo, en partes directamente proporcionales a 11, 10 y 9 respectivamente. Pero después cambia de criterio y decide hacer un nuevo reparto de su dinero a proporcional a 9, 8 y 7. Con este cambio uno de sus hijos recibiría 70.000 euros más que en la primera disposición. ¿Cuál es el hijo que gana con el cambio? ¿Cuál de ellos pierde? ¿A cuánto asciende el capital que reparte el padre?
Solución:
En el primer reparto, como: 11 + 10 + 9 = 30, Juan tiene 11/30, Pedro tiene 10/30 y Pablo tiene 9/30 del total.
En el segundo reparto, Como: 9 + 8 + 7 = 24, Juan tiene 9/24, Pedro tiene 8/24 y Pablo tiene 7/24 del total.
¿ quien gana más, quén menos y quien pierde en cada reparto?.
Como 11/30 < 9/24, Juan gana más en el segundo reparto que en el primero.
Como 10/30 = 8/24= 1/3, Pedro gana lo mismo en el primer reparto que en el segundo.
Como 9/30 > 7/24 , Pablo gana más en el primer reparto que en el segundo
Si x es la herencia tota y Juan es el único que gana 70.000 € más en el segundo reparto que el primero:
(11/30)x – (9/24)x = 70000 ⇒ x=840. 000
Por lo tanto, los 840.000 € es el valor total de la herencia.
Para saber cuánto dinero gana cada uno de los herederos en cada reparto he multiplicado la cantidad repartida por el total de la herencia
Primer reparto:
Juan: 11/30 x 8400000= 3080000€
Pedro: 10/30 x 8400000=2800000€
Pablo: 9/30 x 8400000=2520000€
Segundo reparto:
Juan : 9/24 x 8400000=3150000€
Pedro: 8/24×8400000=2800000
Pablo: 7/24 X 8400000=2450000€
