A continuación se muestran dos problemas parecidos que relacionan los criterios de divisibilidad por tres y por nueve con la teoría de números.
PRIMERO.- Hallar un número de tres cifras que sea igual al cubo de la suma de sus cifras.
Solución:
Sea el número: N = abc10) = 100 a + 10 b + c y buscamos el número N tal que
N = (a + b + c)3.
Resumiendo, buscamos N = abc 10) de tres cifras, por lo tanto, se verifica que
100 < abc 10) < 1000
100 < (a + b + c)3 < 1000,
de aquí (extrayendo la raíz cubica):
4 < (a + b + c) < 10 (1),
Es trivial todo número entero n o bien es múltiplo de tres o bien es anterior o posterior a un múltiplo de tres, por lo tanto, cualquier entero se puede escribir en la forma:
3k – 1, 3k o 3k + 1,
entonces el cubo de dicho número, es decir, N = abc será de la forma
9K – 1, 9K, 9K + 1,
aplicando el criterio de divisibilidad del 9, se tiene que la suma de las cifras del número buscado , a + b + c, debe ser de la forma:
9K’ – 1, 9K’ o 9K’ + 1,
es decir, que, por la condición (1) anterior, que dice que 4 < (a + b + c) < 10 se tiene que : a + b + c, para K = 1 (única posibilidad para K) tiene dos posibilidades:
a + b + c = 8 y a + b + c = 9,
Por lo tanto:
N = (a + b + c)3 = 83 = 512, que es solución válida ya que : 512 = (5 +1 +2)3
N = (a + b + c)3 = 93 = 729, que no es solución válida ya que: 729 ≠ (7 + 2+ 9)3
SEGUNDO.- Hallar un número de cuatro cifras que sea igual al cubo de la suma de sus cifras.
Solución:
Sea el número en base 10: N = abcd 10) = 1000 a + 100 b + 10c + d y buscamos el número N tal que N = (a + b + c + d)3. Resumiendo, buscamos N = abcd10) de cuatro cifras, por lo tanto, verificará que
1000 ≤ abcd 10) < 10.000
1000 ≤ (a + b + c +d)3 < 100,
de aquí (extrayendo la raíz cubica):
10 ≤ (a + b + c +d) < 21 (1),
Es trivial todo número entero n se puede escribir de la forma:
3k – 1, 3k o 3k + 1,
entonces el cubo de dicho número, es decir, N = abc será de la forma
9K – 1, 9K, 9K + 1,
aplicando el criterio de divisibilidad por 9, se tiene que a + b + c + d
es de la forma:
9K’ – 1, 9K’ o 9K’ + 1,
es decir, que, por la condición (1) se tiene que:
10 ≤ (a + b + c + d) < 21
a + b + c + d , para K’ = 1, tiene la posibilidad:
a + b + c + d = 10
y para K’=2, tiene las tres posibilidades:
a + b + c + d = 17, a + b + c + d = 18, a + b + c + d = 19
Por lo tanto, analizando las cuatro posibilidades:
- N = (a + b + c +d)3 = 103 = 1000, no es válida porque cumple 1000 ≠ (1+0+0+0)3
- N = (a + b + c +d)3 = 173 = 4913 es válida porque cumple 4913 = (4+9+1+3)3
- N = (a + b + c +d)3 = 183 = 5832 es válida porque cumple 5832 = (5+8+3+2)3
- N = (a + b + c +d)3 = 193 = 6859 no es válida porque cumple 5859 ≠ (5+8+5+9)3
Por lo tanto las soluciones son 4913 y 5832
