El método de inducción matemática permite la comprobación de la validez de hipótesis y suposiciones, descartando las falsas y afirmando las verdaderas. Es cierto que muchas veces, lo que se demuestra por inducción se puede demostrar por otros procedimientos, pero el método de inducción matemática cosntituye un eficaz procedimiento general de demostración
Consideremos el siguiente problema con el que probamos la valides de una hipótesis:
Problema 1. Demostrar que la suma de tres cubos de números naturales consecutivos cualesquiera es siempre múltiplo de 9.
Solución. 1: Podemos comprobarlo en algunos casos:
13 + 23+33 = 36, 23+ 33 + 43 = 99, 33+ 43 + 53 = 216, 43+ 53 + 63 = 405,
Efectivamente las sumas son múltiplos de nueve.
En general: veamos que la cumplen los cubos de tres números enteros consecutivos cualesquiera k, k+1 y k +2. Haciendo los cálculos algebraicos:
k3 + (k+1)3 + (k+2)3 = 3·k3 + 9·k2 + 15·k + 9 =
= 3·k3 + 15·k + 9·k2 + 9 = 3k (k2 + 5) + 9(k2 + 9),
Como 9(k2 + 9) es múltiplo de nueve, para que k3 + (k+1)3 + (k+2)3 sea múltiplo de nueve queda por ver si 3k (k2 + 5) también lo es. Para lo cual es preciso probar que k(k2 + 5) es múltiplo de tres. Para ello basta demostrar que lo es en los tres casos posibles siguientes:
- Si k múltiplo de tres, entonces: k(k2 + 5) también es múltiplo de tres.
- Si k no es múltiplo de tres distinguimos dos casos:
Si k =3n+1 ⇒ (k2 + 5) = (3n+1)2 +5 = 3(3n2 + 2n + 2) ⇒ (k2 + 5) es múltiplo de tres.
Si k =3n+2 ⇒ (k2 + 5) = (3n+2)2 +5 = 3(3n2 + 4n + 3) ⇒ (k2 + 5) es múltiplo de tres.
También lo podemos demostrar utilizando el método de inducción:
Solución. 2 Demostraremos que por el principio de inducción
ak = k3 + (k+1)3 + (k+2)3 es múltiplo de 9 para todo valor de k.
Comprobamos que se cumple para k = 1:
a1 = 13 + 23 + 33 = 36 es múltiplo de 9
Suponemos que ak = k3 + (k+1)3 + (k+2)3 es múltiplo de 9 y demostraremos que la siguiente suma:
ak+1 = (k+1)3 + (k+2)3 + (k+3)3 es múltiplo de 9
Demostraremos que ak+1 = (k+1)3 + (k+2)3 + (k+3)3 es múltiplo de 9.
ak+1 = (k+1)3 + (k+2)3 + (k+3)3=
sumando y restando k3:
= [k3 + (k+1)3 + (k+2)3] + (k+3)3 – k3 =
= ak + (k+3)3 – k3 = ak + 9·k2 + 9·k + 9 =
= ak + 9·k2 + 9·k + 9 = ak + 9(k2 + k + 9) = ak + Múltiplo de 9
Es decir que, ak+1 es múltiplo de 9, ya que hemos supuesto (hipótesis de inducción) que ak es múltiplo de 9
Problema 2.- Demostrar que la suma de los cubos de los treinta primeros números naturales es múltiplo de 9.
Solución: Trivial, es la suma de diez ternas de cubos consecutivos
Problema 3.- ¿Cuál es el resto de dividir la suma de los cubos de los 127 primeros números naturales entre 9?
Solución: La suma de los cubos de los 126 primeros números naturales es múltiplo de 9, pues son 42 ternas de cubos consecutivos. Por lo tanto, el resto será igual al resto de la división de 1273 entre 9, que es 1.
Utilizando congruencias:
127 ≡ 1 (9) ⇒ 1273 ≡ 13 (9)
O bien:
1273 = 2048383 ≡ 28 ≡ 28 (9)
