El libro de Roger B. Nelsen Demostraciones sin palabras, es una obra en la que el autor sigue la estela del popular matemático y divulgador de las matemáticas Martin Gardner ( 1914-2010). Gardner mantuvo, desde 1956 a 1981, una sección mensual en la revista Scientific American, llamada Juegos matemáticos, que disfrutó de un merecidísimo prestigio y lo mantiene todavía. En la sección de Mathematical Games del número de octubre de 1973 de la revista hablaba de las demostraciones sin palabras y las calificaba como como “diagramas de un vistazo”, destacaba, además su interés señalando que, en muchos casos, una demostración farragosa podía ser suplida por una “demostración” geométrica análoga, tan simple y tan bella que la validez del teorema se descubría de una ojeada.
Aunque las “demostraciones sin palabras” no son demostraciones matemáticas en sentido estricto, ayudan a ver por qué una determinada afirmación puede ser cierta o señalar el principio de una demostración rigurosa. Por otra parte, estas demostraciones tienen un considerable valor pedagógico porque desarrollan las dotes de observación del estudiante y señalan un punto de partida y de análisis para probar la veracidad de una afirmación.
En esta ocasión presentaremos una demostración sin palabras: que consiste en probar que la suma de los ángulos interiores (convexos) de un pentágono estrellado suman 180º proceda el polígono estrellado de un polígono regular o no. Para ello recordaremos los siguientes resultados para familiarizarnos con ellos:
Primero: Un polígono regular estrellado se construye uniendo con líneas rectas los vértices no consecutivos de un polígono regular convexo, de forma continua.
Segundo: Un polígono regular estrellado tiene ángulos interiores convexos (que son los picos de la estrella), representados con A,B,C,…, y cóncavos, que designaremos con A’,B’,C’,…
Tercero: La suma de los ángulos interiores de un pentágono estrellado obtenido a partir de un pentágono regular convexo es de 180º
Método 1: El ángulo DAC es un ángulo inscrito en la circunferencia en la que está inscrito el pentágono regular cuyos lados abarcan la quinta parte de la circunferencia, es un decir, arco de 72º. Como el ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco que abarcan sus lados, la medida es de 36º. Por tanto, la suma de todos ellos es 36º x 5 = 180º
Método 2: Sin pensar en ángulos en la circunferencia
El ángulo interior del pentágono es A = 108º [(3·180)/5]. El triángulo EAB es isósceles y los ángulos desiguales miden lo mismo, por tanto, los ángulos de la base de los triángulos EAC’ y BAD’ miden 36º. Luego el ángulo C’AD’del polígono estrellado es 36º y la suma de todos ellos es 180º
Método 3: (desde el pentágono interior) A’B’C’D’E’ es un pentágono regular, por tanto el ángulo interior A’ mide 108º y los ángulos de la base de DA’C miden 36º y B’D A’ medirá es de 36º. La suma de todos ellos es 180º
Observación: Es interesante hacer notar que hay figuras que pueden parecer pentágonos estrellados y no cumplen que la suma de sus ángulos interiores sea 180º como,por ejemplo, la figura naranja del gráfico siguiente, en el que todos sus ángulos son menores de 36º y, por tanto no pueden sumar 180º, pero ese no es un polígono estrellado, ya que no se ha formado uniendo vértices no consecutivos de un polígono convexo mediante líneas rectas (diagonales) y en los polígonos estrellados que consideramos cada lado del mismo tiene otro lado que pertenece a la misma línea recta que él.
A continuación presentamos una figura con la que se muestra sin más explicaciones que la suma de los ángulos de un pentágono estrellado aunque no proceda de las diagonales de un pentágono regular mide 180º. Para ello basta tener en cuenta que un ángulo llano mide 180º y que el ángulo exterior a un triangulo es igual a la suma de los otros dos ángulos del triángulo, como se observa en la figura.
Finalmente, la figura es la siguiente presenta la demosración visual, sin palabras de que la duma de los ángulos del pentágono estrellado irrecular ABCDE es igual al al ángulo llano de vértic E y de lados el lado CE y su prolongación:
