En este resumen reflexionaremos sobre el enriquecimiento conceptual que tiene la función exponencial, cuando el exponente pasa de ser un número entero positivo hasta ser exponente complejo, pasando por exponentes enteros negativos, por exponentes racionales y por exponentes irracionales.
Extender las operaciones de la aritmética cuya base es un número real:
Potencia de exponente entero positivo: an = a · a · a ··· a, es decir, significa un producto que tiene tantos factores iguales a la base como indica el exponente. Las operaciones con potencias de la misma base con exponente entero positivo multiplicación (an · am = a n+m), división an : am = a n – m, potencia de una potencia (an) m = a n· m) tienen mucha importancia en la ciencia y en las matemáticas: y se mantienen cuando el exponente es un número cualquiera.
La necesidad de extender estas propiedades de la potencia de exponente entero y positivo a otras potencias en las que exponente es un número de otro tipo nos lleva a definir. Con propiedades de la aritmética, se puede expender a exponentes enteros negativos y a exponentes racionales
Potencia de exponente negativo: a – n = 1/an
Potencia de exponente fraccionario
Pero ¿que significa?:
Definir la función exponencial de exponente real de forma precisa, requiere otras consideraciones, más allá de a aritmética elemental:
Como π y √5 son números reales no racionales, no se pueden expresar en forma de fracción y es necesario tener en cuenta que el conjunto de los números racionales es denso en el conjunto de los reales y que se puede definir una sucesión de números racionales que tienda al número irracional, por ejemplo:
{rn} → √5 , {sn} → π .
En general, existe una sucesión de números racionales tales que {rn} → x. Y
La función exponencial de exponente real: Pasar de avanzar a saltos que es el contar a avanzar contar. El gran salto conceptual ocurre cuando queremos que tenga sentido ax con xÎR. Aquí ya no podemos pensar en repetir multiplicaciones. El cambio clave es que la potencia ax deja de ser un proceso discreto y pasa a ser una función continua definida en R: f: R → R tal que a x → ax Conceptualmente, se redefine como la única función que cumple:
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- Convierte sumas en productos a x + y = a x a y·
- Es continua
- a 1 = a
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La potencia de exponente imaginario: fue complicado darle sentido real manteniendo las propiedades que tenía la exponenciales con números reales ¿Qué significa eix ? Los número complejos desde su aparición hicieron cavilar a grandes matemáticos desde su presentación en sociedad en el siglo XVI. El matemático italiano J. Cardano (1501-1576) los encontró resolviendo ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado . Tres décadas después R. Bombelli (1526 – 1572) daba sentido a las expresiones sin sentido de Cardano, en 620, A. Girard (1595-1623) sugirió que las ecuaciones de grado n tienen n raíces. Esta premonición del teorema fundamental del algebra estaba en este caso planteada de forma vaga y sin rigor matemático, pero colocaba a los números complejos al mundo de los números, aunque seguían siendo mal comprendidos, de hecho, R. Descartes (1596-1650) los bautizó con el nombre de imaginarios y matemáticos de gran nivel mantuvieron acalorados debates como el que mantuvieron J. Bernoulli (1667-1748) y G. von Leibniz (1646-1716); Leibniz mantenía que log i = 0 argumentando que como 2 log(−1) = log(−1)2 = log 1 = 0 entonces 2 log i = log i2 = log(−1) = 0, mientras que Bernoulli proponía que log i = iπ/2. Leonard Euler (1707-1783) fue el primero en usar la notación i = √−1, haciendo además un descubrimiento crucial al relacionar la exponencial compleja con las funciones trigonométricas mediante la expresión eix = cos x + i sen x, empleando desarrollos en serie:
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- Esto lleva a la exponencial, y aparece el logaritmo como su inversa. Su relación con la inversa:
En el plano complejo el eje horizontal es la parte real y el eje vertical es la parte imagiaria. Si escribimos la exponencial eix = cos x + i sen x, entonces al número complejo le corresponde el punto (cos x, sen x) en el plano. Ese punto está sobre el círculo unidad. Por tanto:El módulo ∣eix∣ =1 y el argumento (ángulo): x
Cuando el parámetro x cambia: eix se mueve sobre el círculo unidad, eix,describe una rotación alrededor del origen. Por ejemplo:
ei0 = cos 0 + i sen 0 = (1, i) → punto (1,0)
eiπ/2 = cos π/2 + i sen π/2 = (0, i) → punto (0,1)
eiπ = cos π+ i sen π = (-1, 0) → punto (-1,0)
Interpretación general
Para un exponente complejo general z = x+ iy:
ex + iy = ex · e iy = ex·(cos y + i sen y)
Geométricamente significa: ex (cambia el módulo del vector) y eiy gira el vector un ángulo y. Así, el exponencial complejo combina: dilatación o contracción y una rotación Los números complejos representan vectores en el plano. La exponencial compleja describe cómo giran esos vectores.
