PRIMERO.- Hallar cuántos números menores que 1000 son primos con 29 y 13.
Solución: Hay 999 números menores que 1000. De ellos:
Múltiplos de 29 = 999/29 = 34,
Múltiplos de 13 = 999/13 = 76,
Múltiplos comunes 900/ (29x 13) = 2.
Primos con 19 y 13 menores que 1000: 999 – 34 – 76 +2 = 891
SEGUNDO.- Hallar cuántos números menores que 1342 son primos con 19 y 53.
Solución:
Queremos contar los números menores que 1342 que: no son múltiplos de 19 ni de 53
Usamos el principio de inclusión-exclusión, que corrige el doble conteo
Trabajamos con los números: 1, 2, 3,…,1341. Total: 1341 números
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- Múltiplos de 19: ⌊1341/19⌋= 70
- Múltiplos de 53: ⌊1341/53⌋= 25
- Múltiplos de ambos (19·53 = 1007) ⌊1341/1007⌋ =1
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Restamos los que no sirven: 70 + 25 − 1= 94 (Se resta la intersección porque se contaba dos veces ) 1341− 94=1247
Hay 1247 números menores que 1342 coprimos con 19 y 53.
TERCERO. – En una provincia española el número correspondiente a la última matrícula de vehículos concedido hasta esta fecha es el 46000. Hallar el número de vehículos cuyos números de matrícula son capicúas de cinco cifras.
Solución:
Como los números capicúas son de la forma abcba una vez fijadas las tres
primeras cifras las otras dos vienen obligadas, por lo tanto, bastará con estudiar las
posibilidades que tenemos con las tres primeras, es decir:
RV10,3=103=1000, pero:
a) Hay que descontar los que empiezan por x >4 (5,6,7,8 y 9) o por 0, es decir: 6·RV10,2 = 6·100 = 600
b) Las que tienen por primera cifra un 4 y por segunda un 6,7,8 ó 9, es decir 4·V10,1 = 40.
Entonces la solución es: 1000 – 600 – 40 = 360
CUARTO.- Determinar un número entre 400 y 500 tal que al dividirlo por 6 se obtenga de resto 5, y al dividirlo por 11 el resto es 2.
Solución:
Si A es el número que verifica las condiciones dadas se tiene que cumplir:
por tanto, A = 6x + 5 = 11y + 2 (1), esto significa que 6x + 3 = 11y, por tanto
A = 6x + 3 ≡ 0 mod 11, es decir 2x+1 ≡ 0 mod 11
Si x =5 entonces 2·5+1 ≡ 0 mod 11
Luego x = 5 es una solución de la ecuación y , x = 5 + 11t es la solución general:
Sustituyendo este valor en la ecuación (1) resulta que:
A = 35 + 66t
Para t =0 se tiene A = 35 y no cumple las condiciones de estar en 400 y 500
Para t =1 se tiene A = 46 que no cumple las condiciones de estar en 400 y 500…
Para t = 5 se tiene A = 365 que no cumple las condiciones de estar en 400 y 500
Para t = 6 se tiene A = 35 + 396 = 431 si cumple las condiciones
Para t = 7 se tiene A = 35 + 462 = 497 si cumple las condiciones
que son las soluciones válidas.
QUINTO.- Determinar el número máximo de puntos de intersección de las diagonales de un polígono convexo de n lados.
a) Contenidos en el interior del polígono.
b) Situados en su exterior.
Solución:
Tenemos n vértices y n lados, entonces tenemos que Cada cuatro vértices distintos del polígono definen dos diagonales que se cortan en un punto de intersección interior. Entonces: Cn, 4 = n(n-1)(n-2)(n-3)/4!
En un polígono convexo, todas las diagonales están completamente contenidas dentro del polígono.
