En el siglo XVI los astrónomos (y también navegantes y cartógrafos) se enfrentaban a problemas muy concretos de cálculo, que no eran teóricos, sino prácticos. Esos problemas fueron los que llevaron a inventar los logaritmos a comienzos del siglo XVII. pensando en una importante propiedad de la función exponencial que era que pata multiplicar potencias de la misma base se sumaban los exponentes. El logaritmo de un producto era igual a la suma de los logaritmos de sus factores, lo que permitía simplificar operaciones matemáticas al convertir una multiplicación en una suma. Esta propiedad es fácilmente comprensible:
Loga A = x ⇒ ax = A, Loga B = y ⇒ ay = B, Loga(A·B) = z ⇒ az = A·B
Por tanto: ⇒ az = ax · ay = ax+y ⇒ z = x + y ⇒ Loga(A·B) = Loga A+ Loga A
Esto permitía realizar cálculos de forma sencilla disponiendo de tablas de potencias. Si tenemos una tabla de potencias de 2 y queremos calcular la operación 512 x 131072 la tarea se simplificaba si tenemos en cuenta que 512 = 29 y que 131072 = 217, entonces
512· 131072 = 29 ·217 = 226 buscamos en la tabla de potencias de 2 el valor de 226 = 67. 108.864 y obtenemos: 512·x 131072 = 67. 108.86.
En el Renacimiento los cálculos astronómicos exigían realizar mediciones con un elevado grado de precisión y, luego, realizar operaciones aritméticas con varias cifras decimales. La misma necesidad tenían los astrólogos para elaborar horóscopos y cartas astrales y lo mismo cabía decir de arquitectos y topógrafos. En estas profesiones se necesitaba trabajar con razones trigonométricas de cualquier ángulo, lo que suponía operar con números de muchas cifras decimales.
En todas esas profesiones, se planteaban problemas de y trigonometría y había que disponer de tablas trigonométricas precisas. En el 1467 El alemán J. Müller (Regiomontano) (1436-1476) elaboró tablas del seno de un ángulo a intervalos de 1’ y tablas de las tangentes a intervalos de 1º.
Las razones trigonométricas de las tablas de senos de Regiomontano tenían de cinco a siete cifras. Pero, una vez conocidas las razones trigonométricas, había que realizar multiplicaciones y divisiones con ellas. Las dificultades de los cálculos aritméticos se siguieron complicando a medida que aumentaba la precisión de las medidasy, con ello, el aumento de decimales. A mediados del siglo XVI, el pupilo de Copérnico, G. J. Rheticus (1514–1574), manejaba tablas cuya precisión llegaba a las 15 cifras decimales, lo que muestra la evolución.
Las tablas de logaritmos consiguieron facilitar estas operaciones. Multiplicar y dividir números grandes era un trabajo laborioso, muy lento y proclive a cometer errores. Las tablas de logaritmos permitían transformar: multiplicaciones en sumas y divisiones en restas, que eran operaciones más fáciles y con menos posibilidades de error. (multiplicar un número de nueve cifras por otro, supone hacer 81 multiplicaciones y 9 sumas y con logaritmos solamente 9 sumas)
Los logaritmos permitían simplificar, en especial a los astrónomos, las tediosas multiplicaciones, divisiones y raíces de números con muchas cifras. El astrólogo y agustino alemán Michel Stifel, (1487–1567) tuvo una gran importancia en el desarrollo de los logaritmos en su Arithmetica integra de 1544, comparando la progresión aritmética de razón 1 con la geométrica de razón 2
Stifel decía:
«La adición en la sucesión aritmética corresponde a la multiplicación en la geométrica, lo mismo que la sustracción en aquélla corresponde a la división en ésta. La simple multiplicación en la sucesión aritmética, corresponde a la multiplicación por sí mismo, potenciación, en la geométrica; y la división en la primera corresponde a la extracción de la raíz en la segunda, algo así como la división por dos, corresponde a la extracción de la raíz cuadrada”
En Arithmetica integra de Stifel se encuentra por primera vez el cálculo con potencias de exponente racional. Stifel dió también la primera tabla de logaritmos que existe, aunque en forma muy rudimentaria y poco útil para los cálculos astronómicos. Contiene sólo los números enteros desde -3 hasta 6, y las correspondientes potencias de a = 2:
Pero la obra de mayor repercusión en el tema fue la de John Neper (1550-1617), publicada en 1614 en latín titulada Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descripción de la maravillosa ley de los logaritmos). El libro estaba escrito en latín, la lengua franca entre los estudiosos de la época. Neper mantuvo contacto con muchos astrónomos, entre ellos con los grandes astrónmos T. Brahe (1546-1601) y J. Kepler (1571-1630). Kepler fue de los primeros que adoptó y difundió los logaritmos de Neper; con ellos agilizó los engorrosos cálculos de las órbitas planetarias en sus Tablas Rudolfinas (1627). El uso de logaritmos permitió a Kepler reducir meses de trabajo a días,
Otro autor de gran influencia fue Henry Briggs (1561-1630), publicó en 1624 su Aritmética Logarítmica y realizó el cambio de los logaritmos de Neper a los logaritmos decimales Su obra recogía los logaritmos decimales de treinta mil números naturales con catorce cifras decimales (del 1 al 20 000 y del 90 000 al 100 000). A continuación damos un esbozo de cómo elaboró sus tablas de logaritmos:
PASO1.– Briggs calcula los logaritmos a partir de potencias enteras y fraccionarias de 10 (potencias enteras y raíces de 10), se usa que log10 (10a) = a.
1.1.- Si el exponente entero log10 10 =1, log10 102 =2, log10 103 = 3,…, log10 10n = n, 1.2.-
Si el exponente era fraccionario: log10 10 1/2 = log10 3,16277 = 1/2 = 0,5, log10 10 1/4 = log10 1,778279) = 1/4 = 0,25 ……
Entonces ya había obtenido que los números de la forma 10 1/2, 10 1/4, 10 1/8 … tienen logaritmos como 0.5, 0.25, 0.125… respectivamente Y eso se puede hacer rebajando con raíces sucesivas Tomó raíces de índice par:
1.- Sabemos: log10 =1
2.- Sabemos: √10 = 10 ½; Numéricamente: 10 1/2 ≈3.162277
Entonces: log10 √10 = log 10 ½ = Log (3,162277) = 0.5
3.- Log10 10 ¼ Log10 (1,778279) = 0,25
4.- Log10 10 1/8 = Log10 1,333521= 0.125
5.- Log10 10 1/16 = Log10 1,154782 = 0,0625
6.- Log10 10 1/32 = Log10 1,0746 = 0,03125
7.- Log10 10 1/64 = Log10 1,0366 = 0,015625
Ahora disponemos de una “escala” muy fina de logaritmos conocidos.
PASO 2.- Construir el logaritmo de otros números que no sean potencias de 10. Realia aproximaciones por raíces de 10 y aplicando
la propiedad Usamos: log (ab) = loga + logb
Si multiplicamos las potencias fraccionarias de 10, los logaritmos se suman.
Por ejemplo:10 1/2⋅10 ¼ =10 ¾. Entonces: log(10 3/4) = 0,75 :
3,162277×1,778279 ≈ 5,62343.
Así sabes que: Log10(5,6234) = 0,75
PASO 3.- Ilustración del procedimiento de Briggs con un ejemplo: aproximar log 37.
Como: log 37 = log10 + log 3,7 = 1 + log 3, 7 solo necesitamos aproximar log 3,7.
Este es el trabajo ingenioso de Brigss. Idea fundamental:
Escribir (aproximar) 3,7 como producto de potencias del tipo: 101/2, 10 1/4, 10 1/8, …
Para ello buscamos productos de esas raíces que se acerquen a 3,7 y probamos
a) Sabemos: 10 ½ ≈ 3.162 y 10 1/8 ≈ 1.3335. Multiplicamos: 3,162×1,3335 ≈ 4,216 > 3,7. Es demasiado grande.
b) Probamos otra combinación más fina: 10 ½ ≈ 3,162 10 1/16 ≈ 1,15478
10 ½ · 10 1/16 = 3,162×1,15478 ≈ 3, 651 Eso ya está muy cerca de 3,7. Lo tomamos como aproximación
Entonces: log (3,651) = log 10 10 ½ + log10 10 1/16 = 0,5 + 0,0625 = 0,5625
c) Como 3, 651 es un poco menor que 3.7, el logaritmo real será un poco mayor que 0.5625. Añadiendo una fracción aún más pequeña (por ejemplo 10 1/64 ) y repitiendo este proceso, Briggs obtenía: log 3,7 ≈ 0,5682 Y por tanto: log 37 ≈ 1,5682
(El valor que dan las tablas Vazquez Queipo es 1.568201…)