Los manipuladores algebraicos o simbólicos son aplicaciones de ordenador que permiten operar con objetos matemáticos más generales que los números; con ellos se pueden realizar tanto operaciones como algebraicas. Estos programas facilitan la realización de muchas operaciones matemáticas largas, mecánicas y repetitivas y, además, nos ayudan a abordar problemas complejos sin preocuparnos de los cálculos lo que implica comprender otros aspectos más conceptuales de la actividad matemática. En resumen, su gran potencia de cálculo nos permite abordar muchos problemas con una simple idea preocupándonos menos de la mayor o menor dificultad que puedan tener sus cálculos.
PROBLEMA: ¿Cuántas soluciones enteras positivas NO NULAS tiene la ecuación: x + y + z = 10
SOLUCIÓN:
Como las soluciones de la ecuación deben ser positivas y no nulas x, y, z no pueden ser 0, ni tampoco 9, ya que si, por ejemplo, x fuera 9 como y, z deben ser no nulas, la suma de las tres incógnitas sería mayor que 10, por lo tanto, las variables sólo pueden tomar los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Recurriremos al álgebra y al programa Derive para contar el número de sumas posibles que se pueden hacer con esas cifras, para ello utilizaremos el polinomio:
x + x2 + x 3+ x4 + x5 + x6 + x7 + x8,
o, con más precisión, los exponentes del mismo. Teniendo en cuenta que de los 83 = 512 productos que resultan al calcular
(x + x2 + x 3+ x4 + x5 + x6 + x7 + x8)3
Reduciendo términos semejantes y, operando con Derive, resulta que los 512 productos se reducen al polinomio:
(x + x2 + x 3+ x4 + x5 + x6 + x7 + x8)3 = x24+ 3·x 23+ 6·x22+ 10·x21 + 15·x20+ 21·x19+ 28·x18 + 36·x17 + 42·x16+ 46·x15+ 48·x14+ 48·x13+ + 46·x12+ 42·x11+ 36·x10+ 28·x9+ 21·x8+ 15·x7+ 10·x6+ 6·x5+ 3·x4 + x3
Podemos cada uno de los 22 monomios que tiene el desarrollo obtenido con el manipulador algebraico, tiene un significado claro que es el siguiente:
La potencia x24, que tiene coeficiente uno, se obtiene de una sola manera, realizando el producto x8· x8· x8, el monomio 3x23, tiene coeficiente tres, y su parte literal se obtiene de tres maneras
x7· x8· x8, x8· x7· x8, x8· x8· x7.
Igualmente, el monomio 6·x22 nos indica que 22 se obtiene de seis formas distintas:
x8· x8· x6, x8· x8· x6, x6· x8· x8, x8· x7· x7, x7· x8· x7, x7· x7· x8
En resumen:El coeficiente indica el número de productos que tan lugar a la potencia
Por consiguiente: 36·x10 significa que la suma 10, situada en el exponente, se puede obtener de 36 formas diferentes y muestra que la ecuación x + y + z = 10 tiene 36 soluciones enteras no nulas diferentes.
Las soluciones se pueden comprobar. Una solución de las buscadas es, por ejemplo, la 811:
Con 811, (8+1+1), hay tres soluciones : 811, 181, 118 :
x= 8, y = 1, z = 1; x= 1, y = 8, z = 1; x= 1, y = 1, z = 8.
Por consiguiente:
Con 811 hay 3!/2! = 3
Con 721, hay P3 = 3! = 6
Con 631 hay P3 = 3! = 6
Con 622 hay 3!/2! = 6
Con 541 hay P3 = 3! = 6
Con 532 hay P3 = 3! = 6
Con 442 hay 3!/2! = 6
Con 433 hay 3!/2! = 6
En total habrá: 3 + 6 + 6 + 3 + 6 + 6 + 3 +3 = 36 soluciones de x + y + z = 10 con cifras no nulas.
