A comienzos del siglo XIX se produjo una corriente de fundamentación de las matemáticas. Precisamente al investigar el quinto postulado, o postulado de las paralelas de la geometría euclidiana, hacia 1830, se pudo comprobar que existían otras geometrías no contradictorias desde el punto de vista lógico. Comenzaron a aparecer libros que se alejaban del conocimiento físico y trataban temas abstractos matemáticos como Nuevos fundamentos de la teoría de las funciones elípticas (1829) de C. Jacobi (1804-1851). B. Riemann (1826-1866) en Sobre las hipótesis en que se funda la geometría (1854) consideraba la geometría como una o estructuración del espacio del que la geometría euclidiana era una visión entre otras, lo que daba a la geometría un ámbito de libertad en el que desplegar sus hipótesis y sus razonamientos.
Una corriente emprendió la labor de fundamentar la aritmética y la construcción rigurosa, desde el punto de vista lógico, de los números y de las sucesivas ampliaciones numéricas, la línea marcada por R. Dedekind (1831-1916) , G. Frege (1848-1925) y G. Cantor (1845-1918) , la otra corriente siguió investigando sobre los números complejos, la última extensión algebraica, y la posibilidad de descubrir otros elementos que tuvieran en el espacio propiedades geométricas análogas a las que tenían los números complejos en el plano.
Esta tarea la emprendió W. Hamilton (1805-1865) con los cuaterniones que son una extensión de los números reales semejantes a los números complejos. Pero mientras que los números complejos son una extensión natural y, con un abuso de lenguaje son, en cierto modo, un subproducto que aparece al resolver ecuaciones algebraicas; la elaboración de los cuaterniones es una muestra de la libertad y el esfuerzo del pensamiento matemático de mediados del siglo XIX.
Aunque los cuaterniones aparecieron en 1843, su historia comenzó en 1837 cuando Hamilton anunció en la sección tercera de su obra Teoría de la funciones conjugadas o parejas algebraicas…, después de desarrollar los números complejos en términos de pares ordenados que el autor espera publicar más adelante muchas aplicaciones … especialmente sobre Ecuaciones e Integrales, y sobre la Teoría de Tripletas… Las tripletas a las que hacía referencia Hamilton eran números hipercomplejos que jugaran en el espacio de tres dimensiones el mismo papel que desempeñaban los números complejos en el espacio bidimensional.
Las tripletas eran expresiones de la forma: a + bi + cj, donde a, b, y c eran números reales, y i y j eran unidades imaginarias que cumplían la condición: i2 = j2 = −1.
La definición coherente de la suma de dos tripletas no ofrecía ninguna difiultad:
(a + bi + cj) + (a’+ b’i + c’j) = (a + a’) + (b + b’)i + (c + c’)j
Hamulton quería que, igual que el cuadrado del módulo de un número complejo a + bi era a2 + b2, y que además cumplia que el módulo del producto de dos números complejs era igual al producto de sus módulos, pasara lo mismo con las tripletas (lo que Hamilton denominó ley de los módulos).
Pero,| al considerar el módulo del cuadrado de una tripleta, descubrió lo siguiente:
Si t = (a + bi + cj), entonces, el cuadrado del mídulo | t |2 , si seguía la pauta de los números complejos del plano, debía ser la suma de los cuadrados de sus componentes, es decir:
| t |2 = a2 + b2 + c2 (1)
Deberia cumplirse que | t |2 = | t2|, pero Hamilton encontró la siguiente contradicción:
t2 = (a + bi + cj)2 = a2 − b2 − c2 +2abi +2acj + 2bcij (2)
cuyo cuadrado del módulo, por (1), tenía que ser |t2 |2= (a2 + b2 + c2)2
pero eso sólo podía ocurrir cuando, en (2), el sumando 2bcij =0, ya que entonces se cumplía
| t |2 = (a2 − b2 − c2)2 + (2ab)2 + (2ac)2 = (a2 + b2 + c2)2
Y la ley de módulos no se cumplía a menos que ij = 0, cosa que a Hamilton no resultaba le resultaba satisfactorio. Así lo reconocía con estas palabras:
“… he estado tentado considerar que ij = 0. Pero me resultaba extraño e incómodo, y me percaté de que el mismo efecto que anulando el término no deseado, podría obtenerse asumiendo algo menos fuerte: suponer que ji = −ij y consideré que ij = k, ji = −k, reservándome la consideración de si k era nulo o no.” Hamilton pensó entonces que si en las operaciones se respetaba el orden del producto, en realidad, en el producto de i por j, y que se representaba por 2bcij debería escribirse en la forma bc (ij+ ji) y que la ley de módulos se cumpliría asumiendo que ij + ji = 0, sin ser ni ij ni ji nulos.
Realmente a Hamilton le parecía más plausible negar la propiedad conmutativa de una operación que asumir que el cero se pudiera descomponer en producto de factores no nulos. Con esta nueva idea de que ij = −ji = k, pudiendo ser k ≠ 0 abordó la definición general del producto de tripletas. Es decir, si q = a + bi + cj y q’ = x + yi + zj, pero tampoco legó a conclusiones satisfactorias.
Hamilton estuvo durante varios años pensando en la solución del producto de sus tripletas y contaba que, cada mañana, en el desayuno, sus hijos, que seguían el progreso de las investigaciones de su progenitor, le preguntaban: Papá, ¿puedes ya multiplicar las tripletas.
Pero, por fin, en octubre de 1843 deshizo el nudo gordiano en el que se movían sus pensamientos. Una mañana, mientras paseaba con su mujer por el Canal Real en Dublín Hamilton se dio cuenta de que todas las dificultades del producto de tripletas podían resolverse, tomando cuatro términos en lugar de tres, es decir, tomando una tercera unidad imaginaria, k, y añadirla a i y j. Hamilton describe este hecho en una carta dirigida a uno de sus hijos:
Mañana será el decimoquinto cumpleaños de los cuaterniones. Surgieron a la vida, o a la luz, ya crecidos, el 16 de octubre de 1843, cuando me encontraba caminando con la Sra. Hamilton hacia Dublín, y llegamos al Puente de Broughman. Es decir, entonces y ahí, cerré el circuito galvánico del pensamiento y las chispas que cayeron fueron las ecuaciones fundamentales entre i, j, k; exactamente como las he usado desde entonces. Saqué, en ese momento, una libreta de bolsillo, que todavía existe, e hice una anotación, sobre la cual, en ese mismo preciso momento, sentí que posiblemente sería valioso el extender mi labor por al menos los diez (o podían ser quince) años por venir. Es justo decir que esto sucedía porque sentí, en ese momento, que un problema había sido resuelto, un deseo intelectual aliviado, deseo que me había perseguido por lo menos los quince años anteriores. No pude resistir el impulso de coger mi navaja y grabar en una piedra del Puente Brougham la fórmula fundamental con los símbolos
i, j, k: i2 = j2 = k2 = ijk = −1
que contenían la solución del Problema, que desde entonces sobrevive como inscripción.
De este modo, mientras que los números complejos son una extensión de los números reales añadiéndoles la unidad imaginaria i2 = -1, los cuaterniones son una extensión añadiéndoles a los números reales las tres unidades imaginarias i, j y k tales que cumplen:
i2 = j2 = k2 = ijk = -1
Por tanto, los cuaterniones, o números cuaternios, son números hipercomplejos de la forma: q = a + bi + cj + dk, donde a, b, c y d son números reales, e i, j, k verifican la relación i2 = j2 = k2 = −1.
A Hamilton le resultó fácil llegar a la nueva definición. Habiendo asumido que i2 = j2 = −1 y que se necesitaba en las tripletas que k = ij = −ji,
parecía claro para Hamilton que:
1.- k2 = (ij)(ij) = −(ji)(ij) = −ji2j = j2 = −1
2.- Para verificase la ley de módulos, todavía se necesitaba determinar los valores de ik y kj. No estando aún Hamilton seguro de que los cuaterniones cumplieran la propiedad asociativa se cumpliera en los cuaterniones, concluyó: “…tenemos que ik = −j, ya que ik = iij (porque k = ij)= i2j= −j (porque i2 =-1)
3.- Igualmente que kj = ijj = −i.”
4.- Es evidente que si ji = −ij, las otras unidades imaginarias cumplen que: kj = −jk, ik = − ki”
5.- Igualmente: ki = j, jk = i,
Resumiendo, las asunciones del producto (como Hamilton las llamaba) o las reglas que debía seguir la operación eran:
i2 = j2 = k2 = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j.
La nueva álgebra de los cuaterniones obedecía todas las propiedades de la aritmética tradicional excepto la conmutativa. La aceptación un conjunto con una operación no conmutativa era un rasgo innovador y genial, pero sobre todo era una creación de la mente, que no se había hecho para ser lenguaje a medida de ninguna teoría científica sobre el mundo físico.
No obstante, los cuaterniones fueron utilizados por algunos físicos como C Maxwell (1831-1879) en su formulación inicial del electromagnetismo. Aunque al final del siglo XIX, se abandonaron porque era más cómodo trabajar con la parte vectorial y la parte escalar del cuaternión separadas.
