La llegada al mundo occidental de las cifras arábigas, el sistema de numeración posicional y los tratados de Aritmética y Álgebra de los árabes pusieron a disposición de los estudiosos y de la población en general unos métodos matemáticos más asequibles que los de la Geometría.
Los comerciantes pronto descubrieron en esta nueva aritmética, que abandonaba la numeración romana, un método eficaz para llevar sus contabilidades y abrieron sus escuelas donde se formaba a los maestros calculistas que llevaban las contabilidades de los comerciantes, llamadas Escuelas de Abaco. Denominadas así, seguramente por el primer libro manuscrito de Leonardo Pisano (Fibonacci) Liber Abaci (1202). La influencia de este autor fue tan grande que los magistrados de Pisa le concedieron una pensión de veinte liras anuales por su dedicación a la ciencia y el trabajo invertido en su desarrollo.
En Florencia se establecieron, entre el siglo XIV y el XVI, unas veinte Escuelas de Abaco y hubo periodos en los que se llegó a la masificación, alcanzando algunas hasta ocho mil estudiantes.
Luca Pacioli (1447-1517) dio forma definitiva al álgebra italiana en 1494. En esta efervescencia no era extraño que se aparecieran nuevos, algoritmos de Cálculo, notaciones cada vez más eficaces y que estos procedimientos, algoritmos y notaciones se desarrollaran más en los lugares con mayor actividad comercial como eran el Norte de Italia, Alemania o Países Bajos.
En esta la primera etapa del Renacimiento aritméticos y algebristas se separaron de la estela de la Matemática griega. En Aritmética dejaron los números figurados de la Aritmética de Nicómaco de Gerasa (60-120) y en Álgebra no siguieron las pautas del álgebra geométrica recogida en el Libro II de los Elementos de Euclides (325-265 a. C.)
En la primera mitad del siglo XVI brillaron los algebristas italianos en la resolución de ecuaciones, que proponían en forma numérica y resolvían mediante algoritmos algebraicos expresados en forma retórica o sincopada. Con estos métodos obtenían soluciones numéricas que parecían no tener sentido desde el punto de vista geométrico, como eran las soluciones negativas y las complejas. Pero no hay que olvidar la gran importancia que tuvieron las aportaciones de los matemáticos alemanes. En la Aritmética y en el Álgebra una de las obras más importantes fue la Aritmética íntegra (1544) de M. Stifel (1487-1567), un tratado del álgebra muy completo que recogía los tópicos más importantes de la materia publicados hasta entonces.
Con este punto de arranque se le fueron presentando a la nueva Algebra varias líneas de trabajo en las que desarrollar su enorme potencial: la Aplicación del Álgebra a la Geometría, el Cálculo Infinitesimal, la resolubilidad de ecuaciones algebraicas por radicales, la Teoría de Grupos, el Álgebra Lineal, la Teoría de Invariantes etc.
En este artículo trataremos de esbozar la idea del nacimiento de ley de composición como extensión de operaciones aritméticas:
La resolución de ecuaciones algebraicas proporcionó dos líneas de trabajo: En primer lugar, el estudio de nuevos números (llamados números algebraicos) que aparecían como soluciones de las ecuaciones. A estos números se les podía extender las operaciones con números enteros positivos. Esta de línea de trabajo llevaría al estudio pormenorizado de los números reales descubriendo los números trascendentes al planteársela pregunta ¿Todos los números posibles son soluciones de ecuaciones algebraicas? (una ecuación algebraica es una ecuación de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio con coeficientes enteros).
En todo caso, es destacable que, se conocía el teorema fundamental del Álgebra (TFA), que dice que todo polinomio de coeficientes complejos tiene una raíz compleja o, lo que es equivalente, que todo polinomio P(x) de grado n tiene el mismo de raíces reales o complejas que su grado, n. Las operaciones con números complejos y representación geométrica hicieron ver que el producto de números complejos tenía el significado geométrico de un giro, ya que el producto de números complejos en forma módulo-argumento es
Así, el número complejo z·i era el número complejo z girado 90º en sentido positivo. Y, en general, m·(cos x+ i senx) era el número complejo z girado xº.
La fuerza del cálculo con números algebraicos hizo que matemáticos como W. R. Hamilton (1805-1865) emprendieran la tarea de definir una operación entre los puntos del espacio que tuviera el mismo significado geométrico que el producto de números complejos en el plano. Fueron los cuaterniones, 1843, y, del mismo modo que los números complejos eran una extensión de los números reales añadiéndoles una unidad imaginaria que cumpla i 2 = -1, los cuaterniones eran un conjunto: H ={a + bi + cj +dk}, donde eran números reales y las tres unidades imaginarias cumplían i2 = j2 = k2 = ijk = -1. El producto de cuaterniones no era conmutativo, (i·j = k y j·i = -k), pero extendía la operación giro de vectores al espacio tridimensional. Esta fue la primera ley de composición definida de forma “artificial” (sin tener en cuenta las propiedades de los números, no conmutativa, con el fin de definir una propiedad geométrica de forma algebraica.
La aplicación de los cuaterniones a la Fisica no se hizo esperar C. Maxwell (1831-1879), como señalaba en el prólogo de su obra Treatise on Electricity and Magnetism (1873), los utilizó para dar tratamiento matemático a los conceptos físicos descritos hasta ese momento de forma experimental, como sucedía con las leyes de la inducción electromagnética y las leyes de los campos de fuerza enunciadas por M. Faraday (1791-1867).
Los cuaterniones se usaron para expresar las leyes del electromagnetismo, pero su utilización fue efímera porque eran difíciles de manejar y fueron desplazados por el cálculo vectorial. J. W. Gibbs (1839-1903), en sus apuntes del Curso de Electromagnetismo (1879), ya había sustituido los cuaterniones maxwelianos por el cálculo vectorial y había utilizado el producto vectorial
El Algebra Vectorial fue desarrollada independientemente por O. Heaviside (1850-1925) y por Gibbs. Heaviside consideraba los cuaterniones como uno entes antifísicos y antinaturales, separó la parte escalares la parte vectorial y redefinió el producto escalar y el producto vectorial tal como se conocen hoy día.
En el último cuarto del siglo XIX, ya casi nadie tenía en consideración a los cuaterniones, pese a haber sido la primera ley de composición definida en un conjunto no numérico. Quizás solamente P. G. Tait (1831 – 1901), hamiltoniano a ultranza y autor de dos libros de texto sobre el tema titulados: Tratado elemental sobre cuaterniones (1867) y Una introducción a los cuaterniones (1873), seguía defendiendo su uso para representar en Física magnitudes orientadas . Pero en ese momento ya hasta Maxwell parecía estar convencido de la mejora sustancial que suponía el cálculo con vectores de Gibss y Heaviside frente a la utilización de los cuaterniones, según se puede apreciar en una carta de Maxwell dirigida a Tait en 1878 en la que le decía ¿Se puede arar con un buey y una mula uncidos juntos al mismo yugo?, en clara alusión a la ventaja de separar la parte escalar y vectorial de los cuaterniones.
En todo caso, fue en el conjunto de los cuaterniones en el que se definió, por primera vez, una ley de composición, que se llamó producto, con propiedades diferentes a las de las operaciones numéricas (el producto de cuaterniones no era conmutativo) que abrió el camino a considerar operaciones binarias definidas, más por sus propiedades que por el conjunto sobre el que estaban definidas.
