El problema de la medida de terrenos fue un asunto de gran importancia en las compraventas de fincas. El uso de fórmulas falsas con métodos de apariencia razonable hacía que algunos pícaros obtuvieran beneficios de las transacciones.
Este problema preocupaba y, en pleno siglo XVIII y se ocuparon de él algunas Escuelas de Matemáticas para artesanos. Ventura de Avila, profesor de la Escuela de Matemáticas de la Real Sociedad Económica Aragonesa de Amigos del País escribió un libro titulado: Regla general para medir cualquier pieza de tierra, heredad, estanque, partida, termino o corregimiento, sin instrumento alguno de campaña, con la evidencia de la grande equivocación que padecen muchos (en perjuicio del comprador), en la medición de tierras y con un método para comprar, acensar, etc… (1774)
En el libro se destacaban, entre otros, los perjuicios que se derivaban en las compraventas de terreno de la mala aplicación algunos teoremas de geometría elemental, que parecían exactos, eran de fácil aplicación y tenían la ventaja de que permitían “medir” una superficie con forma de cuadrilátero sin instrumentos de agrimensor, utilizando, simplemente, una cinta métrica.
Se aplicaba la fórmula siguiente:
Fórmula: El área de un cuadrilátero ABCD es igual al producto de las longitudes de los segmentos PE y GF, donde E es el punto medio de AB, F es el punto medio de BC, P es el punto medio de CD y G es el punto medio de DA. Es decir: área de ABCD = PE · GF.
Esta regla de cálculo es falsa ya que da un valor menor que el área del cuadrilátero y podía ser utilizada para ventas fraudulentas. El teorema válido es el siguiente:
Teorema: Si en cualquier cuadrilátero ABCD se unen los puntos medios de los lados opuestos mediante dos segmentos rectilíneos PE y GF (como se muestra en la figura) el área del cuadrilátero ABCD, si PE y GF son perpendiculares, es igual al producto de las longitudes PE y GF, esto es, Área de ABCD = PE · GF.
Para probar este resultado lo desglosaremos en tres
Teorema 1: Los puntos medios E, F, P y G de los lados de un cuadrilátero ABCD determinan un paralelogramo.
Demostración: Por el teorema de la paralela media del triángulo:
GP y EF son paralelos entre sí, porque son paralelos a la diagonal, AC del cuadrilátero, igualmente GE y PF son paralelos entre sí, porque son paralelos a la diagonal a la diagonal DB del cuadrilátero.
Teorema 2: El área del paralelogramo EFPG, formado por los puntos medios de los lados del cuadrilátero ABCD, es la mitad del área del cuadrilátero.
Demostración:
Área de ADC = 4 Área de GDP
Área de ABC = 4 Área de EBF
Como Área de ADC + Área de ABC = Área del cuadrilátero ABCD, entonces
Área de GDP + Área de EBF = (1/4) Área del cuadrilátero ABCD (1)
Igualmente:
Área de BCD = 4 Área de FCP
Área de BAD = 4 Área de EAG
Sumando las áreas de las cuatro igualdades:
Área de BCD + Área de BAD = Área del cuadrilátero ABCD, entonces:
Área de FCP + Área de EAG = (1/4) Área del cuadrilátero ABCD (2)
Área de GDP + Área de EBF + Área de FCP + Área de EAG = (1/2) Área del cuadrilátero ABCD
Por consiguiente: Área del paralelogramo EFPG = (1/2) Área del cuadrilátero ABCD.
Teorema 3: El área de un paralelogramo cuyas diagonales d y d’ y forman un ángulo x es
Demostración: Utilizaremos la fórmula trigonométrica que dice que el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno el ángulo que determinan. Así, el área del paralelogramo la calcularemos mediante la suma de los cuatro triángulos en que lo dividen sus diagonales (que son iguales dos a dos)
Corolario: El paralelogramo de área máxima de diagonales d y d’ es el que tiene las diagonales perpendiculares.
Demostración: El área será máxima cuando sen x = 1, por tanto, x = 90º, es decir cuando las diagonales son perpendiculares. Que es cuando se puede utilizar la fórmula (Cuadrados, rombos, deltoides o cometas)
