NÚMEROS PERFECTOS, DIVISORES Y PARTES ALÍCUOTAS

Una parte alícuota de un todo es una parte proporcional que resulta de dividir el todo en partes iguales. Cuando hablamos de números las partes alícuotas son los divisores de ese número. Siete es una parte alícuota de 28, cuando hacemos cuatro partes, cuatro es parte alícuota de 28, cuando lo dividimos en siete partes, cinco no es parte alícuota de 28

Definición : Un número perfecto es un entero positivo, N, que es igual a la suma de todos sus divisores propios positivos, (excluyendo al propio N). Lo escribiremos como σ (N) = N

Ejemplo 1: El 28 tiene los divisores propios 1, 2, 4 ,7, 14  y  1 + 2 + 4 +7 +14 =28, es número perfecto.(es decir, σ (28) = 28)

Ejemplo 2 : El 36 tiene los divisores propios 1, 2, 3, 4 ,6, 9, 12, 18, pero  1 + 2 + 3,+ 4 + 6 + 9 + 12  18  = 56, no es número perfecto. σ (36) < 55

PROPOSICIÓN 1.–  Ningún número primo es un número perfecto

Dem: Es evidente, el único divisor propio de un número primo es la unidad.

PROPOSICIÓN 2.-  Ninguna potencia de un número primo es un número perfecto

Dem : Sea N = p^a, y p un número primo y a entero positivo. Para que N sea número perfecto la suma de sus divisores propios 1, p, p², p³, …. p^a-1 (p^a no entra) debe cumplir:

Pero, como p ≥ 1 se tiene que la suma de sus divisores será:

Por lo tanto, la suma de sus divisores propios será menor que N y N = p^a no será un número perfecto, sino un número deficiente.

Debemos observar que con las potencias de 2 nos quedamos cerca de ser números perfectos si  N = 2^α tenemos: σ (2^α) = 2^α – 1,   σ (N)  = N – 1. Ya que en todos ellos la suma de los divisores de N es el número disminuido en una unidad.

Clasificación de los números su “perfección”:

• Un número cuya suma de divisores propios sea menor a él se llama deficiente. Por ejemplo el 10 es deficiente, pues sus divisores propios suman 1 + 2 + 5 = 8 (σ (10) = 8),
• Un número cuya suma de divisores propios sea mayor a él se llama abundante: El 12 es abundante, pues sus divisores propios suman 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16. (σ (12) = 16). También es El 36 es abundante  (σ (36)  = 55). Y el 60, con los divisores

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60,   (σ (60)  = 118 también es abundante

• Un número cuya suma de divisores propios sea igual a él se denomina perfecto: El 6 es perfecto, ya que  1 + 2 + 3 = 6  (σ (6) = 6).

A continuación, vamos a probar la propiedad más importante de números perfectos. Ya que proporciona la fórmula de Euclides fórmula para calcular números perfectos.

Vamos a calcular calcular el número primo p para que N = p·2ⁿ sea un número perfecto.

Consideremos en primer lugar Todos los divisores de N (incluido el propio N) serán:

1, 2, 2², 2³, …, 2ⁿ, p, p·2, p·2², p·2³, …, p·2ⁿ

La suma de todos ellos será:

(1 +2 + 2²+  2³+ …+2ⁿ )+ (p + p2 + p 2² + p 2³ + …,+ p2ⁿ ) =
= (1 +2 + 2²+  2³+ …+2ⁿ )+ p (1+ 2 + 2² + 2³+ …,+ 2ⁿ ) =

= (1 + p) (1 + 2 + 2²+ 2³+ …+2ⁿ )

Por lo tanto, ese producto debe ser igual a la suma de todos los divisores propios y N, por l tanto para que sea número perfecto se debe cumplir que

(1 + p) (1 + 2 + 2²+ 2³+ …+2ⁿ ) = 2N = 2(p·2ⁿ) = p2ⁿ⁺¹

Escrito de otra forma:

⇒   (1 + p) (2ⁿ⁺¹-1) = p 2ⁿ⁺¹    ⇒    2ⁿ⁺¹-1 + p2ⁿ⁺¹– p = p2ⁿ⁺¹   ⇒

⇒   2ⁿ⁺¹– 1 – p = 0     ⇒     2ⁿ⁺¹– 1 – p = 0     ⇒    p = 2ⁿ⁺¹– 1

Lo que nos lleva a la siguiente proposición:

PROPOSICIÓN 3.-   Si p es un número primo de la forma p = 2ⁿ⁺¹– 1, los números de la forma N = p 2ⁿ son número perfectos,

Es decir, los números de la forma:  N = 2ⁿ (2ⁿ⁺¹– 1) son números perfectos si 2ⁿ⁺¹– 1

Libro IX de los Elementos, Euclides expresa así el resultado en su proposición 36,

Proposición 36. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que su suma total resulte un número primo y el total multiplicado por el último produce algún número, el producto será un número perfecto

OBSERVACIÓN: Los primeros números perfectos son los siguientes y se puede observar que el factor al calcular N = 2ⁿ (2ⁿ⁺¹– 1), el factor (2ⁿ⁺¹– 1) es primo

• • • • • n = 1:   2¹ × (2² − 1) 2 ·3 = 6
        • n = 2:   2² × (2³ − 1) = 4 ·7 = 28
        • n = 3:   2⁴ × (2⁵ − 1) = 16 · 31= 496
        • n = 4:   2⁶ × (2⁷ − 1) = 64· 127 = 8128

Aunque Euclides había demostrado  que la fórmula 2ⁿ (2ⁿ⁺¹ − 1) generaba un número perfecto par siempre que 2ⁿ⁺¹ − 1 fuera primo. Algunos matemáticos, basándose en los cuatro primeros números perfectos que ya se conocían, pensaron que, como los exponentes de los factores, 2, 3, 5 y 7, eran precisamente los cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría para n = 11, y 2¹⁰ (2¹¹– 1), sin embargo, 2¹¹– 1 no es primo ya que 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 y, por tanto, con n = 11 no se  generaba  un número perfecto.