Cuando decimos que en el Renacimiento occidental se recuperó la ciencia griega, en el caso de la geometría no hay dudas, se volvió a la geometría de Euclides y a los métodos de Arquímedes, a fin de cuentas, la geometría, estaba perfectamente establecida con el método axiomático y cabían pocas variantes. Pero el caso de la aritmética era diferente, porque había problemas fundamentales de la aritmética que estaban estudiados more geométrico en los Elementos de Euclides (330-275 a. de C.). En esta obra los números eran tratados tanto como magnitudes, resultado de una medida, como colecciones finitas de unidades. Además, la aritmética griega ofrecía al estudioso renacentista presentaciones diferentes a la recogida en los Elementos. La Aritmética de Nicómaco (siglo I d. C) o la de Diofanto (siglo III d de C) dejaban de lado la noción de número como magnitud y la representación de los números como segmentos de recta o superficies y definían el número como colección finita de unidades. Estas diferencias las matizaré a continuación.
A esas influencias de la ciencia griega les debemos añadir la influencia que tuvo la utilización del sistema de numeración posicional con las cifras indo arábigas y los algoritmos de cálculo numérico, que aportaron los árabes a la aritmética occidental. Los árabes fueron transmisores de las obras griegas a través de sus traducciones y del sistema de numeración hindú, y algunos matemáticos árabes aportaciones originales, como es el caso de al-Khwarizm (Al Juarizmi) (780-850).
La aritmética en la Grecia antigua era considerada como el estudio de las propiedades de los números en sí mismos y no incluían los cálculos, que no se valoraban o, simplemente, eran considerados como una ciencia aparte. Euclides dedicó los libros VII, VIII y IX de los Elementos a la aritmética. Entre las definiciones que daba el sabio alejandrino estaban los conceptos de unidad y de número; cuando un número era parte alícuota de otro (divisor) o, simplemente, era parte de él. Definió los conceptos de números primos y números compuestos. En cuanto a las operaciones numéricas, en los Elementos explicaba el concepto de producto de dos números considerándolos como magnitudes geométricas. El producto de dos números lineales era una superficie y, partiendo de la idea de producto, definía los números planos, los números cuadrados, los números sólidos y los cubos. Termina con la definición de número perfecto, que es el que es igual a sus propias partes.
En el libro II de los Elementos, las diez primeras proposiciones admiten una clara representación en forma de identidades algebraicas y se utilizaron para resolver ecuaciones de segundo grado en forma geométrica. Ese método se utilizó en la edad media y se conoce como el álgebra geométrica griega.
Una visión de la aritmética diferente de la de Euclides la ofrecía Nicómaco de Gerasa (siglo I d. C) que fue el primer matemático que separó la aritmética de la geometría. Nicómaco eliminó el razonamiento geométrico euclidiano en aritmética y trabajó con la idea de número considerado como multitud limitada o conjunto de unidades y supuso que la unidad era el término que separaba los números enteros de los fraccionarios (consideraba sólo las fracciones menores que la unidad). No obstante, aceptaba la superstición pitagórica que defendía que los números tenían propiedades míticas y adivinatorias. Su obra Introducción a la aritmética se conservó en la versión latina de Boecio (480-524) y fue libro de texto durante buena parte de la edad media, en la que aparecía la clasificación de los números en triangulares, pentagonales, piramidales, etc, según admitieran sus unidades una disposición u otra
Diofanto de Alejandría (siglo III d. C) dio un salto importante en la concepción de la aritmética. Si Nicómaco la independizó de la geometría, Diofanto proporcionó a los razonamientos aritméticos una notación simbólica y unas reglas de cálculo propias, independientes de la geometría, que dieron a la aritmética un dinamismo y una autonomía que anunciaban el automatismo del cálculo y la aparición de los algoritmos. Es por lo que a Diofanto se le ha llamado padre del álgebra. Su Arithmetica era una colección de problemas algebraicos que influyeron en gran medida en el desarrollo de la aritmética y de la teoría de números. Utilizó una notación abreviada, tanto para las operaciones elementales como para la incógnita y para sus potencias. Y fue, quizás, el primer matemático en reconocer las fracciones como números por derecho propio, ya que manejó fracciones de enteros positivos como coeficientes de las ecuaciones y admitió las fracciones como soluciones de sus ecuaciones.
La aritmética, en la edad media evolucionó mucho, recibió sucesivos impulsos y aportaciones, y se aplicó a nuevas situaciones. Una contribución fundamental fue la incorporación de la numeración posicional indo arábiga y el desarrollo de nuevos algoritmos para realizar las operaciones aritméticas. Hacer operaciones con el sistema de numeración posicional era más fácil que las que se podían hacer con cualquier sistema de numeración aditivo como, por ejemplo, la numeración romana. Con unas reglas de cálculo aritmético sencillas de ejecutar y de expresar se facilitaba el aprendizaje de la aritmética. Este impulso fundamental acabaría por convertirla en la disciplina más importante para el desarrollo de la ciencia moderna por delante de la geometría.
La aritmética renovada presentaba a los científicos una nueva disciplina más asequible y aplicable que la geometría se extendió entre la gente más que ésta. Recordemos la anécdota que ponía de manifiesto la dificultad que tenía el aprendizaje de la geometría cuando el rey Tolomeo I, le preguntó a Euclides si había un acceso a los conocimientos geométricos diferente y más fácil que el método desarrollado en los Elementos a lo que el matemático respondió: No hay camino de reyes en geometría.
El sistema de numeración llegó a occidente a través de los árabes desde la Casa de la Sabiduría, fundada en Bagdad a finales del siglo VIII por el califa Harun Al-Rashid. Este centro funcionó como academia y centro de investigación reuniendo a científicos de todo el mundo. En esa institución se realizaron importantes avances en el lenguaje matemático abstracto que fue adoptado y difundido por el imperio islámico por toda Europa.
En la Casa de la Sabiduría se realizaron traducciones de los clásicos griegos que sirvieron de base para alumbrar una síntesis fecunda entre la geometría y el álgebra indo arábiga, gracias a aportaciones de los matemáticos árabes entre los que destacó Mohammed ibn Musa al-Khwarizm (Al Juarizmi) (780-850), en su tratado de Hisāb al-ŷabr wa’l muqābala, se introdujeron en Europa los números indo arábigos y los principios fundamentales del álgebra. De Al Juarizmi deriva la palabra algoritmo y del título de su obra la palabra algebra (al-jabr).
Cuando se tradujeron las obras árabes al latín, a partir del año 1100, se inició en Europa la gran transformación en la aritmética. Fue utilizada ampliamente por astrónomos y comerciantes y, poco a poco, los cálculos aritméticos y los algoritmos ganaron complejidad, y describirlos con precisión en el lenguaje corriente se hacía cada vez más difícil y farragoso, sobre todo cuando se trataba de detallar las reglas de la de resolución de ecuaciones algebraicas y métodos de resolución para familias enteras de problemas. Para superar esta dificultad fue cada vez más necesario simplificar el lenguaje. Para lo que hubo que inventar un lenguaje simplificado basado en símbolos y notaciones, es decir, definir un leguaje distinto del natural y más adecuado para expresar las operaciones aritméticas y describir las ideas, los procedimientos y relaciones matemáticos.
Así y se fue desarrollando el álgebra, como lenguaje formal, y la idea de algoritmo, o cálculo algebraico, como automatismo formal para la resolución de problemas. La formalización de la aritmética se fue depurando, desde los primeros tratados de la regla de la cosa, hasta alcanzar su madurez mediante las expresiones algebraicas, que permitían describir con sencillez las operaciones del álgebra.
Con las expresiones algebraicas era más fácil encontrar y expresar las fórmulas para la resolución de ecuaciones algebraicas. Las fórmulas sintetizaban algoritmos, mediante los que, a partir de los datos del problema se obtenía la solución, o dicho en términos matemáticos, a partir de los coeficientes de la ecuación obtener sus raíces.
En esta atmósfera intelectual surgió una fascinación renovada por el saber, y por las traducciones de obras filosóficas, matemáticas y científicas griegas fueron la base de la ciencia árabe. Un importante elemento innovador fue el énfasis de la cultura islámica en la experimentación, en las pruebas empíricas como base de la verdad científica. En el siglo X comenzó una era de investigaciones originales que duró hasta el s. XIII y se produjeron grandes avances en astronomía, matemáticas y medicina.
La aritmética tuvo tanta importancia que, tras la invención de la imprenta a mediados del siglo XV, la primera obra matemática que se imprimió en Treviso fue la Aritmética titulada L’arte de labbacho (1478) de autor desconocido, impresa antes que los Elementos de Euclides, lo que pone de manifiesto la importancia y desarrollo alcanzado por la aritmética, a la que siguieron La Suma de la art de Arismetica, de Francesch Sanct Climent (1482), publicada en Barcelona, y El libro de aritmética (1482) y El cuadernillo de aritmética (1483) (Rechenbuch y Rechenbüchlein) de Ulrich Wagner publicada en Bamberg, etc. Un rosario continuo de aritméticas hasta que llegó la obra cumbre decisiva Summa de arithmetica, geometría, proportioni et proportionalita (1494) de Luca Pacioli (1447-1517).
La obra consta de cinco secciones, aunque el temáticamente se puede dividir en dos bloques el primero casi exclusivamente dedicado a la aritmética y el otro al álgebra. En la primera parte de Summa exponía, en primer lugar, la clasificación pitagórica de los números y la teoría de los poliedros regulares. A continuación, explicaba las operaciones aritméticas básicas y sus algoritmos por varios métodos, la suma (por un método), la resta (por tres métodos), la multiplicación (por ocho métodos) y la división (por cuatro métodos). Estudió las progresiones aritméticas y el cálculo de raíces cuadradas de raíces cúbicas, y las potencias. Finalmente, estudió las fracciones y sus operaciones. La obra tenía un claro carácter de libro de texto en el que se daban reglas mnemotécnicas para recordar las operaciones básicas y sus propiedades y los signos para comenzar con el álgebra. De este modo, distingue entre los cálculos a que se utilizaban en los cálculos diarios y lo que denominó arte maggiore
También abordó la solución de ecuaciones algebraicas en la teoría de ecuaciones y afirma que en general las ecuaciones de grado mayor de dos no podían resolverse a través del álgebra. Años más tarde Tartaglia, Del Ferro, Cardano y Ferrari encontrarían las fórmulas de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. En el cuarto apartado de Summa explicaban unas aplicaciones de la aritmética útiles para comerciantes: la contabilidad de doble entrada y las tablas monetarias y tablas de medidas, el quinto lo dedicaba de la geometría.
A partir del siglo XVI se dieron pasos de gigante para poner a punto una herramienta imprescindible en las matemáticas: el álgebra. Se creó un formalismo abstracto, un lenguaje, mediante el que los términos y las operaciones se expresarían con una simbología general y sencilla, facilitando la aplicación de las matemáticas a las ciencias físicas y profundizando en los conceptos matemáticos. Con las matemáticas se representaban conceptos y los modelos por encima de las ideas intuitivas, y por eso necesitaba un código simbólico que expresara directamente al fondo estructural eliminando lo superfluo.
