En un artículo anterior de vicmat titulado Evolución de la geometría (I): la influencia de los métodos algebraicos (https://vicmat.com/evolucion-la-geometria-i-la-influencia-los-metodos-algebraicos/ ) se describía como los métodos algebraicos que se introdujeron partir del siglo XVII, en la geometría y se convirtieron en el lenguaje de la misma y desplazaron a la geometría euclidiana de su situación dominante de reina de la matemáticas . La geometría analítica, producto de la fusión del álgebra y la geometría, fue capaz de expresar la geometría de los Elementos de Euclides en términos de ecuaciones, proporcionando, a la geometría en particular y a todas las matemáticas en general, un lenguaje eficaz y una enorme potencia de cálculo.
La nueva versión de la geometría extendió la disciplina a otros temas. R. Descartes (1596-1650) pedía en su Geometría (1637) que se admitieran curvas más complejas que las cónicas y que tuvieran cabida, dentro de la geometría, curvas que los antiguos geómetras llamaban curvas mecánicas, como la espiral, la cuadratriz y otras semejantes, que los griegos no consideraron elementos geométricos y las denominaron con el nombre despectivo de “curvas mecánicas”. Por su parte, P. Fermat (1607-1665) observó que, en el plano cartesiano, cada relación entre sus coordenadas, x e y, representaba una curva, dejando establecida una clara identificación entre ecuación algebraica y curva geométrica. Fermat estudió la familia de curvas de ecuación general y = xn, donde n era un número entero, positivo o negativo. A las curvas de esta familia se les denominó parábolas de Fermat (o hipérbolas si n < 0). Con estas ideas, el número de curvas admitidas en la geometría se amplió, de las apenas diez que conocían los griegos, a un conjunto infinito de curvas.
Además, el cálculo infinitesimal, con soporte algebraico, permitió estudiar nuevas curvas con sentido físico según las exigencias de la física de Newton (1643-1727), como la braquistócrona y la isócrona. La braquistócrona era la trayectoria que debía seguir una partícula que descendiera desde un punto inicial A (del que partía con velocidad nula y sin rozamiento) bajo la acción de la gravedad hasta llegar otro punto B en el mínimo tiempo. La isócrona (o tautócrona) era una curva tal que cualquier partícula situada en puntos diferentes A, B, C, D… de la misma y sometida únicamente a la acción de la gravedad invertía el mismo tiempo en llegar al punto más bajo, O. Es decir, la curva tal que el tiempo de descenso libre de la partícula hasta el punto O, era independiente de su posición inicial.
La adaptación del algebra y del cálculo infinitesimal al estudio del espacio geométrico permitió que el álgebra se convirtiera en el lenguaje de la física newtoniana, ya que el espacio de la física de Newton era el espacio euclidiano. L. Euler (1707-1783) en su Mecánica (1736-37), escribió, por primera vez, la mecánica de Newton en el lenguaje del análisis matemático, apartándose del lenguaje geométrico de los Principia (1687) y clarificando los métodos conceptuales de la mecánica.
Pero en todo cambio se ganan unas cosas y se pierden otras. Con el cambio de los métodos de la geometría a los algebraicos se consiguió mayor agilidad de cálculo y claridad expositiva; se introdujo el tiempo como una variable más del espacio cartesiano, lo que facilitaba hacer predicciones (algo fundamental en la física) y se puso a disposición de la física el cálculo infinitesimal, una herramienta perfectamente adaptada para el estudio de los fenómenos físicos. Sin embargo, el abandono de la geometría y la adopción de los nuevos métodos acabaría alejando los resultados de la física de la intuición visual con la que se presentaban los resultados de la física expresada en lenguaje geométrico.
En este sentido se manifestó el matemático francés M. Atiyah (1929-2019) en la conferencia, pronunciada en el Simposio de Toronto con motivo del año mundial de las matemáticas celebrado en el año 2000, titulada: Las Matemáticas del siglo XX y recogida en la revista de didáctica de las matemáticas, Números, vol 50, junio de 2002.
Atiyah partía de que la geometría y el álgebra eran los dos pilares fundamentales de las matemáticas. Reconocía la importancia que ambas habían tenido, y tienen todavía, en el estudio de la ciencia, pero destacaba que la relación entre ellas había sido una complicada historia de dominios, sometimientos y alternancias.
Aunque el comienzo de las matemáticas fue básicamente geométrico, la introducción de las coordenadas cartesianas en el siglo XVII, fue el ataque fundamental del álgebra de los indios y árabes a la geometría griega, la gran batalla entre geómetras y algebristas tuvo lugar en el siglo XVIII y se libró en el campo del análisis entre los partidarios de Newton y G. Leibniz (1646-1716), los padres del cálculo infinitesimal.
Newton era un geómetra y G. Leibniz (1646-1716) un algebrista. El matemático inglés desarrolló el cálculo con fluxiones y fluyentes con sentido geométrico, para acercarse lo más posible al contexto físico, mientras que Leibniz tenía el objetivo de formalizar todas las matemáticas para convertirlas en una máquina de cálculo. La apuesta de Leibniz, siguiendo la tradición aritmético-algebraica, ganó y se utilizó en las matemáticas y en el estudio de la física de forma generalizada. Newton perdió, pero su espíritu permaneció enterrado durante mucho tiempo (en este sentido puede verse: https://vicmat.com/la-mecanica-newton-i-estilo-los-principia/)
Pero lo que puede parecer un simple cambio de lenguaje tiene un aspecto más profundo en lo que se refiere a la adquisición del conocimiento y a la explicación de los fenómenos físicos.
El sentido de la visión está relacionado con el espacio y, por tanto, con la geometría. Cuando abrimos los ojos recibimos una enorme cantidad de información que se transmite a nuestro cerebro de forma inmediata. Como señala Atiyah, la visión usa alrededor del 80% de nuestra corteza cerebral con la vista distinguimos la verticalidad, la horizontalidad, los colores, la perspectiva y muchas otras características de nuestro mundo. Comprender y dar sentido a lo que vemos es una parte importante de nuestra evolución. Por ello, la intuición espacial y la percepción son importantes y, en consecuencia, la geometría es muy importante para configurar nuestro conocimiento La mente humana se ha desarrollado para poder captar mucha información con una acción visual instantánea y, en consecuencia, la geometría es importante para estructurar la percepción espacial y para alcanzar el conocimiento de los objetos físicos que percibimos.
Sin embargo, el álgebra tiene que ver con el tiempo. El conocimiento que se adquiere con ella no es inmediato, ni se capta instantáneamente, como ocurre con el sentido de la visión y la geometría. En cualquier álgebra, las operaciones se realizan sucesivamente, una tras otra. Cualquier algoritmo o cálculo es una sucesión de pasos y lo mismo sucede con los ordenadores. El álgebra tiene que ver con manipulaciones sucesivas en el tiempo y la geometría con percepciones en el espacio. Por tanto, las relaciones, diálogos y preponderancias de la geometría y el álgebra tienen una importancia fundamental en la explicación científica.
Para Atiyah los métodos de la geometría y del álgebra son dos aspectos inseparables de abordar la investigación científica, sin que uno anule a otro ni sea dominante. Anular una de las dos herramientas, el álgebra o la geometría. Sería como preguntar a una persona “¿Qué prefieres ser ciego o sordo? Si eres ciego no percibirás el espacio y si eres sordo no percibirás el tiempo. Evidentemente es preferible disfrutar de los dos sentidos”.
En física se estudia la variación en el espacio y el tiempo objetos, magnitudes medidas de objetos, de medidas, etc, y existe la división entre conceptos (ideas, palabras leyes) y aparato experimental. Los conceptos físicos están ligados a la visión, la intuición, la inspiración y siguen la tradición geométrica, mientras que los experimentos siguen la tradición algebraica: se mide algo en el tiempo y los números obtenidos se relacionan en fórmulas matemáticas en las que, evidentemente, interviene el tiempo y, con transformaciones y con los cálculos, se extraen conclusiones. Es por lo que con las fórmulas se pierde la intuición física de los hechos.
Esta situación de pérdida de intuición se puede representar en la oferta que el diablo Mefistófeles le hizo al doctor Fausto de concederle lo que más deseara mientras viva a cambio de su alma.
El álgebra sería la oferta que el diablo les hace a los matemáticos para estudiar el mundo: El álgebra es una maravillosa máquina que contestará cualquier pregunta que se le haga (hoy día la máquina puede ser el ordenador). Con el álgebra se puede hacer cualquier cálculo, pero, a medida que se avanza en los cómputos, se deja de pensar geométricamente, con lo que se produce un alejamiento de la visión intuitiva y con ello de la interpretación de la realidad, esto es, el significado.
Pero esta visión es algo injusta. Es cierto que el objetivo fundamental del álgebra es obtener una fórmula y calcular para poder obtener una respuesta y que en este proceso no se necesita pensar en el significado de los diferentes pasos algebraicos, que se pierden de vista los fundamentos científicos y esto puede ser desconcertante y desorientador. No obstante, la oferta faustiana puede resultar atractiva.
