En 1545 Cardano se planteó en Ars Magna el siguiente problema:
Dividir en dos partes un segmento de longitud 10 unidades de forma que el rectángulo que se forma con ambas partes tenga un área de 40 unidades cuadradas.
La solución de problema es bastante fácil: Si a una parte le llamamos x la otra será 10 – x, por tanto, la ecuación ue resuelve el problema será x (10 – x) = 40, que como soluciones 5 +√−15 y 5 −√−15. Como no existían las raíces de números negativos, Cardano achacó ese resultado a que el problema no ten´´ia solución geométrica “tan sutiles que eran inútiles”, y no investigó más sobre ellos,
Sin embargo, el matemático e ingeniero italiano R. Bombelli (1526– 1572), en su obra El álgebra, la parte mayor de la aritmética (1572), utilizó la fórmula de Cardano para resolver la ecuación cúbica: x3 = 15 x + 4 y obtuvo soluciones del tipo siguiente:
en las que aparecían raíces cuadradas de números negativos que carecían de sentido. Bombelli aventuró la hipótesis de que, dado que los radicandos sólo se diferenciaban en un signo, con sus raíces cúbicas debía suceder lo mismo y planteó.
Calculando Bombelli obtuvo: que a = 2 y b =1, es decir, que el valor de esa expresión era x = 4. Lo que demostraba que existía una relación entre los números reales y los complejos. Y concluyó que para los números complejos valían las mismas reglas de cálculo que para los números reales
Pero quedaba una duda esencial y era que, aunque las operaciones con radicales negativos nos llevaban a soluciones que eran números reales, ¿Cuál era la naturaleza de esas cantidades imaginarías, tan sutiles que eran inútiles a las que hacía alusión Cardano?
Un siglo después, aunque en los cálculos algebraicos se seguían las reglas de cálculo de Borelli, la incertidumbre sobre la naturaleza de los números complejos seguía. En una carta de 1673 de Ch. Huygens (1629-1695) a G. Leibniz (1646-1716), le expresa sus recelos sobre la identidad:
Las operaciones comenzando por elevar al cuadrado el primer miembro:
Que es igual al cuadrado del segundo miembro.
Huygens expresó su extrañeza y su incomprensión sobre la naturaleza de los números complejos en los siguientes términos:
Lo que me escribes sobre cantidades imaginarias que, no obstante, cuando son sumadas da una cantidad real, me es sorprendente y totalmente nuevo. Uno nunca creería que esto es cierto y debe haber algo escondido en ello que es incomprensible para mí.
En el año 1702 Leibniz atribuyó a los números imaginarios un carácter casi metafísico diciendo que eran un hermoso refugio del espíritu divino que estaba a caballo entre la existencia y la no existencia.
Por otra parte i = √(-1) no se le podía ubicar en un orden numérico, ya que sucedía que si se suponía que i < 0, si multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por i (como i suponems que es negativo), la desigualdad cambia de sentido i 2 > 0·i, es decir -1 > 0, lo cual es imposible.
Si suponemos que i > 0, si multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por i (como i es positivo), la desigualdad no cambia de sentido i 2 > 0·i, es decir -1 > 0, lo cual es imposible
J. Hadamard (1865- 1963) destacaba la importancia de los números cmplejos en artimética y en matemáticas en general diciendo que el camino más corto entre dos verdades en el campo real pasa a través del campo complejo. Incluso utilizaba los complejos para resolver problemas en el campo de los números reales.
Un ejemplo es el siguiente: El producto de la suma de cuadrados es de nuevo suma de cuadrados, es decir: Si a y b son enteros (a2 + b2)·(c2 + d2) = u2 + v2
Y probaba el resultado, echando mano de los números complejos, de la siguiente forma:
(a2 + b2)(c2 + d2) = (a + bi)·(a − bi)·(c + di)·(c − di) =
= [(a + bi)(c + di)]·[(a − bi)(c − di)] =
= [(ac – bd) + (ad + bc)i] [(ac – bd) – (ad + bc)i] =
(haciendo ac – bd = u y ad + bc = v se llega al siguiente resultado )
= (u + iv)(u − iv) = u2 + v2
