Los problemas que aquí se recogen están extraídos del libro de H.S.Hall y S.R. Kniht, titulado Algebra Superior (1948), que realiza en sus primeros capítulos una excelente introducción a la aritmética con el estudio de razones y proporciones, análisis combinatorio y progresiones. En sus obras anteriores estos temas habían sido tratados de forma más superficial y con una serie de problemas más elementales. Debemos señalar que los problemas de mezclas y aleaciones formaban parte de la formación aritmética de los estudiantes en la enseñanza secundaria para profundizar en la proporcionalidad. En todo caso los problemas que presentamos pueden resultar ilustrativos para los estudiantes de secundaria.
Primero : Dos barriles A y B, se llenaron de jerez de dos clases diferentes. Se mezclaron en el barril A en relación 2:7 y en el barril B en la relación 1:5 ¿Qué cantidad debe tomarse de cada uno para tener una mezcla de que tenga 6 litros de una y 27 litros de la otra?
Solución: Supongamos que tomamos x litros del barril A e y litros del B.
Por los datos del problema sabemos que el barril A, de nueve partes, tiene dos partes de un jerez y siete de otro y el barril B, de seis partes, tiene una parte de un jerez y cinco de otro. Como hemos extraído las cantidades x del barril A e y del barril B y deseamos una mezcla de jerez de 6:27 o 2:9, se debe cumplir :
2x/9 + y/6 = 6 de un tipo de jerez
7x/9 + 5y/6 = 27 del otro tipo de jerez
Operando
4x + 3y = 108
14x + 15 y = 18·27,
eliminando y: 6x = 540 – 486 = 54 ⇒ x = 9, y = 24
Segundo: En Inglaterra entre 1871 y 1881 la población creció el 15,9%, si la población de la ciudad aumento el 18% y la del campo el 4%. Compara la relación entre el número de habitantes de la ciudad y del campo en 1871.
Solución: Sean u el número de habitantes en 1871 en la ciudad y c en el número de habitantes en el campo
El aumento de la población urbana entre 1871 y 1881 será: 0,18·u
El aumento de la población rural entre 1871 y 1881 será: 0,04·c
Luego el aumento de la población total será 0,18·u + 0,04·c
Pero el enunciado dice que la población, (u + c), ha aumentado globalmente el 15,9%, es decir, 0,159·(u + c) por tanto:
0,18·u + 0,04·c = 0,159 (u + c) ⇒
⇒ 0,21 u = 0,119 c ⇒ 210 u = 119c ⇒
⇒ 30u = 17c ⇒ u/c =17/30
la población inglesa era en 1871 marcadamente rural.
Tercero: El latón es una aleación de cobre y zinc. El bronce es una aleación que tiene 80% de cobre, 4% de zinc y 16% de estaño. Analizamos una masa fundida de latón y bronce y tiene el 74% de cobre 16% de zinc y 10% de estaño. Halla la razón de la composición del latón en cobre y zinc.
Solución: Supongamos que el latón tiene un x% de cobre y un (100- x)% de zinc y que en la masa fundida hay 100a partes de latón , 100b partes de bronce.
100a partes de latón tienen ax partes de cobre y a(100-x) de cinc
100b partes de bronce 80b de cobre, 4b de cinc y 16b de estaño
En la masa fundida hay ax + 80b partes de cobre, a(100-x) + 4b partes de cinc, y 16b de estaño:
(ax + 80b)/74 = [a(100-x) + 4b] /16 = 16b/10, luego:
10(ax + 80b)/74 = 16b ⇒ 10ax = 384b
10a(100-x) + 4b]= 16·16b ⇒ 10a(100-x )= 216b,
Dividiendo miembro a miembro ambas igualdades resulta:
x/(100-x) = 16/9 ⇒ x = 64 de cobre y 36 de zinc.
Luego la razón cobre zinc será 64:36, es decir: 16:9
Cuatro. Se han sacado nueve litros de un barril de vino, después se han llenado de agua y se vuelven a sacar nueve litros de esta mezcla y lo volvemos a llenar de agua. Si la cantidad de vino que queda en el barril es como 16:9 ¿Cuál es la capacidad del barril?
Solución:
Primera extracción: Quedan x -9 litro de vino y 9 de agua
Segunda extracción: Quedan 9(x -9)/x litros de vino y, por lo tanto, la cantidad de vino que queda, es:
(x-9)- 9(x -9)/x= (x -9)2/x,
y la cantidad de agua del barril: es x – (x -9)2/x.
Por las condiciones del problema la cantidad de vino y agua del barril está en la relación 16/9, por lo tanto:
[(x -9)2/x] / [x – (x -9)2/x] = 16:9 ⇒
⇒ (x -9)2/(18x – 81) = 16/9 ⇒ (x -9)2/(2x-9) = 16 ⇒ x= 45, x=5.
El barril debe tener 45 litros, ya que 5l no cumple las exigencias del problema, que, al menos debe tener 9 de capacidad.
