En matemáticas se utilizan los valores promedios para representar un conjunto de valores numéricos. Por ejemplo, con la media aritmética de las notas de un alumno obtenidas a los largo del curso, se valora el rendimiento académico de un alumno. La media armónica se suele emplear para para promediar velocidades, tiempos, y tiene el inconveniente de que no se puede calcular cuando algún valor es cero; y que su empleo no es aconsejable en conjuntos de números con valores pequeños muy pequeños.
1.- La media geométrica, G, de dos números a y b es:
y el significado gemétrico es la medida del lado de un cuadrado de la misma área que el rectángulo de lados a y b.
2.- La media geométrica de tres números a, b y c es:
y geométricamente significa la medida del lado de un cubo que tiene el mismo volumen que el paralelepípedo de lados a, b y c.
3.- En general, la media geométrica de n números x1, x2,…, xn será:
4.- La media geométrica es una medida de tendencia central de los datos. En general menor que la media aritmética salvo en el caso en que todos los valores sean iguales, en cuyo caso las dos medias serán iguales.
5.- La media geométrica no es la media que utilizamos para calcular las medias de las notas de los estudiantes, porque, con ella, adquieren mucho peso los errores cometidos. La media geométrica penaliza la dispersión de las notas y en ella tendrían mucha repercusión las notas bajas de los estudiantes, como se observa en la siguiente tabla:
Cuanto mayor sea la dispersión entre los datos, la media geométrica será menor que la media aritmética. Si en la enseñanza se relacionan las notas con en los contenidos, las grandes dispersiones en las calificaciones de un alumno se pueden explicar por causas externas una nota alta aislada puede significar que copió, una nota puede deberse a que no ha podido estudiar a problemas familiares a desmotivación.
Hay algunos defensores de la media geométrica y apoyan en que, como el conocimiento es acumulativo, no conviene dejar lagunas o partes de la materia mal aprendidas. Pero la media geométrica no se utiliza habitualmente en el cálculo de notas por ser desalentadora, ya que la media geométrica es, generalmente, menor que la media aritmética (sólo coinciden cuando las notas obtenidas por los alumnos es constante). Además, penaliza las notas altas, que son arrastradas por la influencia de las bajas y resta motivación al estudio de los alumnos que han obtenido algún fracaso (imaginemos el alumno que ha sacado un cero en una prueba, siempre tendría de media cero por mucho que se esforzara).
Pero si en algunos casos elegir la media aritmética o la media geométrica es algo opcional, hay situaciones en las que aquello que entendemos por media es indudablemente la media geométrica.
Consideremos las siguientes cuestiones:
Cuestión 1.- El área de una elipse en función de sus ejes es A = π·a·b el radio del círculo que tiene la misma áreas será A = π·r2 y r , que se puede interpretar como el radio medio de la elipse, es la media geométrica de los semiejes a y b de la elipse.
Cuestión 2.- El precio de un apartamento aumentó un año el 10%, al año siguiente subió el 15% y un año después bajó el 7%. ¿Cuál fue el porcentaje medio de variación del precio en ese periodo?
Podríamos pensar que el porcentaje medio será la media aritmética de los porcentajes que es 6% [6 = (10 +15 -7)/3], pero no es así, basta con que razonemos así: Si el precio inicial del apartamento era P:
Al cabo del primer año su precio será: P·(1+ 0,1)= P·(1,1)
Al cabo del segundo año valdrá: P·1,1·(1 – 0,15) = P·(1,1)·(1 ,15)
Al cabo del tercero su precio será P·(1,1)·(1 ,15)·(1-0,07) = P·(1,1)·(1 ,15)·(0,93).
Para encontrar el porcentaje medio buscaremos un factor constante F tal que:
P·F·F·F = P·F3 = P·(1,1)·(1 ,15)·(0,93)
F3 = (1,1)·(1 ,15)·(0,93)
F3 = 1,17645 ⇒ F = 1,0557
(Observemos que F es la media geométrica de 1,1, 1 ,15 y 0,93)
Por tanto, el porcentaje de crecimiento medio anual del apartamento en esos años será el 5,57 % , que es menor que la media aritmética de los porcentajes o tasas de crecimiento, que era del 6%.
Para calcular la tasa de crecimiento medio anual de x1%, x2%,…, xn% se calcula la media geométrica:
La tasa de crecimiento será 100·(G-1)
