Definición: Un número perfecto es un entero positivo, N, que es igual a la suma de todos sus divisores propios positivos, (excluyendo a N). σ (N) = N
Proposición: Un número perfecto no puede ser cuadrado.
Demostración:
Un número perfecto es de la forma N = 2p−1(2p−1), donde 2p -1 es primo. En la factorización en factores primos de N, el factor 2 aparece con exponente p −1 y el factor primo 2p −1 aparece con exponente 1. Como un cuadrado perfecto requiere que todos los exponentes sean pares, N no puede ser un cuadrado.
la función divisor, este cuenta el número de divisores de un entero.
Definición: La función suma de divisores positivos sx(n) σ x ( n ) se define como la suma de las x x-ésimas potencias de los divisores positivos de n . (nosotros utilizaremos para x=1)n
Definición: La suma alícuota s ( n ) σσ(n) de n n es la suma de los divisores propios de n n (esto es, todos los divisores a excepción de n n), de manera que σ(n) =s ( n ) = σ 1 ( n ) − n s(n) – n.
Definición: La secuencia alícuota de n n se forma por repetidas aplicaciones de la función suma alícuota.
- Números perfectos pares
Por el teorema de Euclides, todo número perfecto par tiene la forma N = 2n (2n+1– 1)2 n − 1 ⋅ ( 2 n − 1 ) con : (2n+1– 1)2 n − 1 ⋅ ( 2 n − 1 ) primo
Primero n = 1: 21 × (22 − 1) = 6
Segundo n = 2: 22 × (23 − 1) = 28
Tercero n = 4: 24 × (25 − 1) = 496
Cuarto n = 6: 26 × (27 − 1) = 8128
Al darse cuenta de que 2n − 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2n (2n − 1) (que a partir de ahora escribiremos 2 n-1(2n -1) genera un número perfecto par siempre que 2n − 1 sea primo.
Aunque primero se pensó que eso sucedía cuando el exponente de 2n – 1 fiera primo, pronto apareció un contraejemplo; la suposición no era cierta, ya que para n = 11, sucede que 211 − 1 = 2047 = 23 × 89 no es primo y por tanto la expresión 2 n-1(2n -1) no generaba números perfectos para cualquier valor primo de n . Y se abrió la búsqueda de la localización de los números primos de la forma (2n -1) . los números de Mersenne
El quinto número perfecto 212(213 -1) = (33 550 336
En 1603 P. Cataldi (1548 – 1626) calculó los números perfectos sexto y séptimo,
216(217 − 1) = 8 589 869 056 y 218(219 − 1) = 137 438 691 328.
El estudio de los números perfectos llevó a considerar un tipo particular de números primos
Primos de Merssene
Teorema: Si 2n − 1 es un número primo, entonces n también debe ser primo.
Dem: Supongamos que 2n – 1 sea primo y que fuera un número compuesto, esto es que n = a·b, entonces:
2n – 1= 2ab – 1 = ((2a)b – 1).
Consideremos la identidad: xb = (x-1) ( xb-1+ xb-2+ ···· +x +1)
haciendo x = 2a
2ab = (2a -1) ( 2a (b-1)+ 2a(b-2)+ ···· + 2a +1)
Como a y b >1 2ab = 2n queda descompuesto en producto de dos factores enteros, lo que contradice la hipótesis.
A los números primos generados por la fórmula 2n − 1 se les conoce como números primos de Mersenne, en honor al monje del siglo XVII Marin Mersenne (1588-1648), quien estudió teoría de números y números perfectos.
En 2024, se descubrió el número primo de Mersenne más grande 2136 279 841 − 1 conocido hasta el día de hoy (o M136 279 841 en la notación usual), es el número 52 de la lista de primos de Mersenne, con más de ochenta y dos millones de dígitos: 2136 279 840 (2136 279 841 − 1)
¿Qué es una sucesión alícuota?
Definición : Una sucesión alícuota de un número σ(σ( σ( σ( n)… es una sucesión de números que resultan de la suma de los divisores propios del anterior.
Ejemplo: sucesión alícuota de n = 12,
σ( 12) = 1+2+3+4+6 = 16, σ( σ( 12)) = σ( 16) = 1+2+4+8 = 15,
σ( σ( σ( 12))) = σ( 15) = 1+3+5 = 9, σ(σ( σ( σ( 12)))) = σ( 9) = 4
σ( 4 ) =1+ 2 = 3, σ( 3) =1
La sucesión alícuota tiene siete números: 12, 16, 15, 9, 4, 3, 1, ya que a partir del 1, este se repite indefinidamente
Sucesiones alícuotas de un sólo número
Hay números cuya sucesión alícuota tiene un solo elemento: El 6 tiene una sucesión alícuota que sólo lo contiene a él. Son lo números perfectos.
σ (6) = 1 + 2 + 3 = 6, σ(6) = 6
σ (28) = 1 + 2 + 4+ 7 +14 =28, σ(28) = 28
σ(496) = 1+ 2+ 4 + 8+ 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496 , σ(496) = 496
σ (8128) = 1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 32+64+127+ 254 + 508 +1016 +2032 + 4064 = 8128
Los números 33 550 336 y 8 589 869 056 son perfectos también y su secesión alícuota tiene un solo elemento
1.1.- números amigos
Definición: a y b son números amigos si, σ(a) = b y σ(b) = a, (donde σ(n) es igual a la suma de los divisores propios de n)
Observación: Los números amigos tienen una sucesión alícuota de dos números que se repiten sin cesar: 220, 248, 220, 248
σ(220) =1 + 2 + 4 + 5 +10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 +110 = 284 σ( 284) = 1+ 2+ 4+ 71+142 = 220
Cuestiones:
- Razona porque la amistad entre números compuestos es cosa de dos y no se puede extender a tres o más números distintos.
- la inmensa mayoría de los números no son «amigos» de ningún otro
Los primeros diez pares de números amigos son: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084) y (66928, 66992).
