Los astrónomos griegos se interesaron por conocer las dimensiones del Sistema Solar. Aristarco de Samos (310-230 a.C.) realizó unas medidas de las distancias astronómicas empleando una metodología científica impecable. Los primeros pitagóricos creían que la distancia de la Tierra al Sol era triple que la distancia de la Tierra a la Luna. Aristóteles (384-322 a.C.) recogió el dato de que el tamaño del Sol era mayor que el tamaño de la Tierra y que las estrellas estaban mucho más alejadas de la Tierra que el Sol.
De los escritos de Aristarco solamente conocemos su obra Tamaños y distancias del Sol y de la Luna. El resto de sus estudios se han perdido y su contenido se conoce por comentaristas y recopiladores posteriores, especialmente Pappus de Alejandría (c.290-c.350).
Aristarco fue el primer astrónomo que abordó científicamente el problema de determinar relaciones entre distancias en el Sistema Solar y entre los tamaños de sus astros. Obtuvo relaciones tan importantes como las siguientes:
La distancia de la Tierra al Sol es más de dieciocho y menos de veinte veces que distancia de laTierra a la Luna
El diámetro del Sol con relación al de la Tierra es mayor de 19/3 y menor de 43/6
El tamaño del Sol es mayor de 5832 veces el de la Luna y menor que 8000.
La razón entre el diámetro de la Luna y de la Tierra es mayor de 19/70 y menor que 43/108.
Estas observaciones eran relaciones a las que les faltaba la medida de alguna de las magnitudes para conocer la medida de todas las demás. Resulta evidente que si conociéramos la relación entre el radio de la Tierra y el de la Luna, midiendo el radio de la Tierra, podríamos conocer el radio de la Luna y el resto de magnitudes relacionadas matemáticamente con ella. Pero Aristarco no tenía una medida precisa ni del radio de la Tierra ni de ninguna otra magnitud astronómica. Para disponer de una medida precisa habría que esperar casi cincuenta años hasta que Eratóstenes (296-194 a.C.) calculara la medida del radio de la Tierra.
Las relaciones de Aristarco fueron modificadas y mejoradas por Hiparco de Nicea (c.190-c.120 a. C.), el cual tomando como base en los trabajos de Aristarco y Eratóstenes, creó lo que se conoce como Astronomía Matemática. Hiparco elaboró el primer catálogo de estrellas conocido, que Claudio Ptolomeo (100-170) reprodujo textualmente en su Almagesto.
LAS MEDIDAS DE ARISTARCO
1.- RELACIÓN ENTRE EL RADIO DE LA LUNA Y SU DISTANCIA A LA TIERRA
Una de las primeras relaciones entre medidas astronómicas de Aristarco la realizó al observar la Luna sobre el fondo de las estrellas fijas del Zodiaco. Tras realizar mediciones cuidadosas (sin telescopio con el ojo desnudo), obtuvo que el diámetro aparente de la Luna ocupa la quinceava parte de un signo del Zodiaco. Lo que significaba que el diámetro aparente de la Luna, en la figura el ángulo a, era de 2º, valor muy diferente del real y sorprendente porque Arquímedes (287-212) en el Arenario afirmaba que Aristarco encontró que el diámetro aparente del Sol, que era parecido al de la Luna, era una setecientas veinteava parte de circunferencia, es decir de 0º 30’.
Se aprecia en los textos clásicos que la medida del diámetro aparente de la Luna se fue haciendo cada vez más precisa. En el siglo IV, el matemático griego Pappus de Alejandría recoge en su Colección matemática (ca. 340) que el círculo del Zodiaco es seiscientas cincuenta veces el diámetro de la Luna, lo que quiere decir que el diámetro de la Luna se veía bajo un ángulo de:
De esta observación podemos obtener una relación entre la distancia de la Tierra a la Luna (DL) (que es el radio de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra) y el radio de la misma (RL)
2.- RELACIÓN ENTRE LAS DISTANCIAS DE LA TIERRA A LA LUNA Y DE LA LUNA AL SOL
Aristarco estableció una relación entre las distancias de la Tierra al Sol y a la Luna mediante una idea ingeniosa, que tomó como punto de partida de sus razonamientos.
Supuso que cuando un observador veía iluminada exactamente la mitad del disco Lunar, los rayos de la luz emitidos por Sol que iluminaban la Luna formaban con la visual Tierra-Luna un ángulo de 90º. En ese momento, Aristarco realizó la medida del ángulo que formaban las visuales desde la Tierra al Sol y a la Luna que era una trigésima parte menor que un cuadrante. Lo que significaba que formaban un ángulo de 87º. Y calculó:
Como Aristarco no tenía tablas trigonométricas, aproximó la relación mediante fracciones:
La medida de Aristarco no era buena, en realidad el ángulo a era, aproximadamente, 89º 50’ y se obtendría:
Lo que significaba que la distancia de la Tierra al Sol debía ser casi trescientas cincuenta veces mayor que la distancia de la Tierra a la Luna.
3.- RELACIÓN ENTRE LOS TAMAÑOS DE LA LUNA Y EL SOL
Aristarco había observado también que el diámetro aparente del Sol era aproximadamente el mismo que el de la Luna. Nosotros consideraremos la relación mejorada que nos ha dado Pappus que decía que era la seiscientas cincuentava parte de la circunferencia.
Si el diámetro aparente del Sol era igual al diámetro aparente de la Luna. El ángulo bajo el que se ven los radios del sol y la Luna será a/2 y los triángulos TAS y TBL de la figura serán semejantes, por lo que se verifica que:
Esa relación significaba que las distancias y los radios son directamente proporcionales. En ese momento histórico no se disponía de la medida de ninguna de las magnitudes que intervenían en las relaciones dadas por Aristarco. Como se ha señalado anteriormente habría que esperar a conocer la medida del radio de la Tierra que mediría Eratóstenes. Con esa medida y con las relaciones de Aristarco, se lograrían calcular las primeras medidas del Sistema Solar.
4.-RELACIÓN ENTRE EL RADIO DE LA TIERRA Y EL RADIO DE LA LUNA
ESTUDIO EN UN ECLIPSE DE LUNA
Aristarco relacionó las medidas el radio de la Tierra con los radios de la Luna y el Sol analizando un eclipse de Luna. Para ello midió el tiempo que empleaba la Luna en atravesar el cono de sombra proyectado por la Tierra
El astrónomo había observado que en un eclipse lunar que el diámetro de la sombra circular que arrojaba la Tierra a la distancia en que se encontraba la Luna era doble que el diámetro de la Luna. Esa observación la había realizado suponiendo que la Luna se movía con movimiento uniforme:
En primer lugar midió el tiempo T1 desde que la Luna comenzaba a atravesar la sombra hasta que se ocultaba completamente, esto es, determinó el tiempo en el que la Luna recorre el arco que subtiende el diámetro lunar
Luego midió el tiempo T2 que tardaba en atravesar la sombra de la Tierra , esto es, el tiempo que la Luna permanecía en total oscuridad y comprobó que T2 era doble de T1 por lo que concluyó que la sombra que proyectaba la Tierra en el lugar donde se encontraba la Luna era de dos diámetros lunares.
La situación se resume en la gráfica siguiente:
Por semejanza de triángulos que se destacan del dibujo anterior se tiene:
Teniendo en cuenta la relación entre distancias y tamaños obtenida en apartado 3:
Con el valor aproximado de Aristarco obtenemos que:
De aquí, conociendo el valor obtenido por Eratóstenes para el radio de la tierra, se pueden calcular los radios de la Luna y del Sol y sus distancias a la Tierra.
Finalmente, señalaremos que las ideas de Aristarco para realizar las mediciones del Sistema Solar fueron las ideas de un geómetra avezado. La falta de ajuste con las medidas reales no se debe a su metodología, sino a que las medidas estaban realizadas sin otros instrumentos que el ojo humano, una plomada y un transportador. Pequeñas diferencias en la medida de ángulos trasmitían grandes discrepancias, en las enormes distancias astronómicas.
De esta observación podemos obtener una relación entre la distancia de la Tierra a la Luna (DL) (que es el radio de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra) y el radio de la misma (RL)
