Los primeros libros relacionados con el cálculo de probabilidades fueron pequeños opúsculos en los que se resolvían algunos problemas planteados por jugadores de cartas y de dados. L. Pacioli (1445–1517), en la obra Summa Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita (1494) planteó el problema, concido como problema de los puntos, en el que que se trataba cómo se debía repartir el dinero apostado por varios jugadores cuando la partida se interrumpía antes de finalizar. El problema se podría plantear así:
Dos jugadores juegan a las cartas y ganará el primero que alcance seis puntos (seis partidas ganadas). En cada partida se gana un punto. Cada jugador ha apostado 11 ducados si, por diversas circunstancias, no han podido acabar el juego y se ha suspendido cuando un jugador ha ganado 5 puntos y el otro solamente 3 ¿Cuánto dinero habrá que devolver a cada jugador si la partida no se reanudara, teniendo en cuenta las condiciones en las que ha quedado suspendido el juego?
Pacioli propuso que el dinero debería repartirse atendiendo a las victorias obtenidas anteriormente y dio solución al problema como una cuestión de repartos proporcionales, con las siguientes premisas:
a) Dado que, como máximo, los puntos que se pueden conseguir son once (cuando quedan 6 a 5) y se ha suspendido el juego cuando han conseguido ocho (han quedado 5 a 3).
b) Los 22 ducados en juego se corresponden con las 8/11 partes del juego. Como un jugador lleva ganadas 5/11 de estas 8/11 partes, la proporción del premio que merece llevarse es deduce de la proporción. Esto es:
8/11 —— 22 ducados
5/8 —— x ducados
Con este criterio el segundo jugador con las 3/8 partes, se llevará 8,25 ducados.
La solución dada por Luca no resultaba satisfactoria y tuvo objeciones como la que le hizo en 1556 N.Tartaglia (1500–1557). La objeción de Tartaglia a la solución Pacioli era que si en el momento de suspender el juego el segundo jugador no hubiera obtenido ningún punto, el primero se adjudicaría todo el premio, por lo que le negaba cualquier posibilidad de ganar si se continuara el juego, lo que no era cierto. Y propuso otra forma de reparto que fue la de conceder al jugador que iba ganando su apuesta más una parte proporcional de lo que había arriesgado el que iba perdiendo. Tartaglia propuso como proporción la diferencia de puntos entre uno y otro, 2, dividida entre los puntos que debe conseguir, que eran todos, 6, conseguir, es decir 1/3. Por tanto, al jugador que va ganando le corresponderían:
Ninguna de las soluciones convencía a los jugadores, porque todas tenían la misma carencia: no tenían en cuenta lo que pudiera ocurrir en las partidas que quedaban por jugar. Pero esto no era algo tan sencillo de hacer para los contemporáneos de Pacioli y Tartaglia, puesto que implicaba el uso de conceptos que escapaban del alcance de las matemáticas del reparto mercantil y soslayaban la cuestión de cómo se podría desarrollar un suceso futuro que dependía del azar.
La solución vino por parte de dos matemáticos franceses, B. Pascal (1623–1662) y P. Fermat (1601–1655), que no pretendieron reflexionar sobre el concepto de azar, ni siquiera intentaron enunciar una definición de probabilidad, pero aplicaron métodos numéricos para analizar las alternativas que planteaban los juegos de azar.
En la historia de la ciencia se considera que la Teoría de Probabilidades apareció en la segunda mitad del siglo XVII, a partir de en la correspondencia mantenida entre B. Pascal y P. Fermat sobre la resolución del problema de los puntos que le planteó A. Gombaud, Caballero de Meré (1607-1685) a B. Pascal. Pascal se y fue precisamente el problema de los puntos el problema del reparto de apuestas cuando se suspende la partida. Pascal se puso en contacto con Fermat para resolver estos problemas y en la correspondencia mantenida entre ambos comenzaron utilizar criterios numéricos que permitieron acotar con precisión el concepto de probabilidad.
Consideremos el problema de dos jugadores igualmente hábiles que juegan al mejor de seis partidas, el jugador A lleva cinco partidas ganadas y el B lleva tres. Si el juego continúa las posibilidades de desarrollo pasan porque el juego termina porque A gane una partida y B gane tres seguidas. Las posibilidades de ganar serán, las que se muestran en este diagrama de árbol, en el que designamos con A el hecho de que A gane y con B el que el equipo B gane (o que A pierda).
El jugador B tiene sólo una posibilidad de ganar y es BBB, porque en cuanto A gane una partida, como está a falta de un punto, el juego se habrá terminado. Sin embargo A tiene las siguientes posibilidades de ganar:
A, BA y BBA,
P(ganar B) = P(BBB) = 1/8
P(ganar A) = P(A) + P(BA) + P(BBA)) =1/2 + 1/4+ 1/8 = 7/8
Pascal y Fermat propusieron que el reparto debía hacerse de acuerdo con las posibilidades que tiene cada jugador de ganar, en este caso suponemos que los dos jugadores son igualmente hábiles. El capital en juego son 22 ducados. A tiene 7 posibilidades frente a las 8 posibles y B una posibilidad frente a 8. Luego el reparto de las apuestas se hará:
El jugador B recibirá 22/8 = 11/4 = 2,75 ducados y el jugador A recibirá el resto: 19,75 ducados.
La correspondencia entre Pascal y Fermat y la resolución de los problemas planteados por De Meré fue conocida entre los matemáticos de la época y algunos resolvieron estos problemas y otros análogos relacionados con los juegos de azar. El primer tratado publicado sobre el cálculo de probabilidades fue escrito por el científico holandés C. Huygens (1629–1695) con el título De Ratiociniis in ludo alae (1656) en él recoge problema de los puntos y en esa obra introdujo por primera vez la noción de esperanza matemática.
