EL PUNTO DE FERMAT DE UN TRIÁNGULO Y EL TEOREMA DE VIVIANI

Los problemas de los que nos vamos a ocupar tienen su punto de partida en una carta privada que el matemático francés P. Fermat (1601-1675) le envió al físico italiano E. Torricelli (1608-1647) en la que le proponía la resolución de un problema que podría plantearse así:

Problema (Fermat-Torricelli): Dados tres pueblos A, B y C, (no alineados) se desea determinar un punto P en el que se debe situar un almacén de suministros para que la suma de distancias de los tres pueblos al almacén: PA + PB + PC  sea mínima.

El problema fue resuelto por Torricelli, aunque su demostración fue publicada  en 1659 por su pupilo V. Viviani (1622-1703), también B. Cavalieri dio otra solución y el resultado es el siguiente:

Los tres pueblos forman un triángulo ABC y  el punto P  se  llama Punto de Fermat. Y, en un triángulo cuyos ángulos son menores de 120º, el punto P cumple la condición siguiente:

ángulo (APB) = ángulo (BPC) = ángulo (CPA) = 120º.

Torricelli demostró, por procedimientos puramente geométricos de la forma que mostramos a continuación, que si el punto cumplía esa condición la suma de distancias PA + PB + PC era mínima

Tomemos un punto arbitrario P interior al triángulo, uniendo P con los vértices A, B y C, el triángulo ABC queda dividido en los tres triángulos: PAB, PBC y PCA.

1.- Con centro en el vértice C giremos el triángulo  PBC un ángulo de 60º y se transforma en el triángulo P’B’C.

2.- Con este giro se puede observar que, dado que el giro mantienen las distancias, que BP = B’P’  y que CP = CP’ = PP’,  ya que, al girar PC  60º, el triángulo PP’C es equilátero.

3.- Por lo tanto:  PA + PB + PC = PA + PP’ + P’B’  y esta suma será mínima cuando los puntos A, P, P’ y B’ estén alineados.

4.- Si  el ángulo BPC = 120º, entonces P’ está alineado con A y P ya que ángulo BPP’ = 60º (BPP’+ APB =180º) y B’ está alineado con P y P’, ya que ángulo B’P’C = 120º y ángulo CP’P = 60º  y la suma de los dos da un ángulo llano. Por lo tanto, los puntos A, P, P’ y B’ están alineados, que es lo que queríamos probar.

Si el triángulo ABC  un ángulo ≥ 120º el punto de Fermat se sitúa en el vértice correspondiente a ese ángulo.

Un problema de corte parecido está recogido en el  teorema de Viviani que lo podemos plantear así:

Problema (Viviani): Tres pueblos  A, B y C  están unidos por tres carreteras rectilíneas AB, BC y CA  que  forman un triángulo equilátero. ¿Dónde se debe construir una almacén P para que la suma de las distancias del almacén a las tres carreteras sea mínima?, es decir: d(P,AB) + d(P, BC) + d(P, CA) sea mínima

Si ABC es un triángulo equilátero y P es un punto cualquiera interior al triángulo  y lo unimos con sus vértices, el triángulo ABC queda dividido en tres triángulos: PAC, PAB y PBC de base L y de alturas respectivas (desde Pp, q y r. Y tenemos que:

Area (ABC) = Area (PAB) + Area (PBC )+ Area (PCA)    ⇒

L· h/2  = L· p/2  +  L·q/2  + L· r/2       ⇒     h = p + q +  r

Y esto ocurre con todos los puntos interiores del triángulo equilátero. La suma de las perpendiculares a los tres lados del triángulo desde un punto P interior es constante e igual a la altura del triángulo equilátero.  Luego es indiferente la elección del punto P donde ubicar el almacén. Lo que es, en esencia, el teorema de Viviani, que dice:

Teorema de Viviani: En un triángulo equilátero la suma de las perpendiculares trazadas desde un punto interior cualquiera a los lados del triángulo es igual a la altura  del mismo.

A partirdel teorema de Viviani podemos observar lo siguiente:

1.-  Si  p, q y r son las perpendiculares a los lados del triángulo equilátero desde un punto P interior del mismo entonces p + q + r = h

2.- Si se trazan desde P  rectas u, v y w  que no sean no perpendiculares a los lados del triángulo equilátero la suma de las mismas será mayor que h. (u + v + w > h)

3.- Las perpendiculares a los lados del triángulo forman entre si ángulos de 120º.

A partir de estos resultados se puede probarel teorema de Fermat- Torricelli de la siguiente forma:

Consideremos un triángulo cualquiera  DEF  y un punto  P el punto desde  el que las líneas que los unen con sus vértices forman entre si ángulos de 120º. Entonces:

1.- Las perpendiculares  a esas líneas que pasan por los vértices del triángulo forman un triángulo equilátero ABC.

2.- Si desde  otro punto Q interior cualquiera se trazan las perpendiculares a los lados del triángulo equilátero ABC:   p’ + q’ + r’  =  p + q + r

3.- Si unimos Q con QD + QE + QF  >  p’ + q’ + r’  =  p + q + r.

4.- Como esto vale para cualquier  Q  del triángulo ABC y, en particular para los puntos de  DEF   ⇒  que el punto P en el que PD, PE y PF se cortan en ángulo de 120º es aquel que hace que la suma de distancias sea mínima. Lo que constituye una comprobación del Teorema Fermat-Torricelli.

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