El criterio de divisibilidad de un número entre dos es el más fácil, basta observar la cifra de las unidades y, si es par, es divisible por dos, mientras que no es divisible por dos si esta cifra es impar. El resto de las cifras a la izquierda del número no alteran su divisibilidad por dos. Una propiedad análoga también se da con los números divisibles por 4 y todas las potencias de dos. Así, como 24 es divisible por 4, también son divisibles por 4 los números:
2123324, 976324, 345689324 o 989876324
Lo mismo sucede con los números divisibles por 8, como 744 es divisible por 8, también son divisibles por 8 los números:
12323744, 5657634744, 8295464744 o 2325678744
EL CRITERIO DE DIVISIBILIDAD DE UN NÚMERO POR DOS
Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o en cifra par. Para probarlo partiremos de si expresión decimal. Manejaremos el sistema de numeración decimal.
Sea n = (an an-1 an-2 ··· a1 a0 )10 = an10n + an-110n-1 + an-210n-2 + ··· + a110 + a0 =
Que lo podemos escribir en la forma:
n = 10 (an10n-1+ an-110n-2 + … + a210 + a1) + a0
Como 10 = 2·5, entonces 10 (an10n-1+ an-110n-2 + … + a210 + a1) es múltiplo de 2. Por tanto, para que n sea múltiplo y, por tanto, divisible por 2 a0 debe ser par
EL CRITERIO DE DIVISIBILIDAD DE UN NÚMERO POR CUATRO
Un número es divisible por 4 cuando las dos últimas cifras forman un múltiplo de cuatro.
Sea n = (an an-1 an-2 ··· a1 a0 )10 = an10n + an-110n-1 + an-210n-2 + ··· + a110 + a0 =
Que lo podemos escribir en la forma:
n = 100 (an10n-2+ an-110n-3 + … + a2) + a110 + a0
Como 100 = 22·52, 100 (an10n-1+ an-110n-2 + … + a310 + a2) será múltiplo de 4
Por tanto, para que n sea múltiplo y, por tanto, divisible por 4, (a1a0 )10 = (a110 + a0 ) debe ser múltiplo de 4
EL CRITERIO DE DIVISIBILIDAD DE UN NÚMERO POR OCHO
Un número es divisible por 8 cuando las tres últimas cifras forman un múltiplo de 8 .
Sea n = (an an-1 an-2 ··· a1 a0 )10 = an10n + an-110n-1 + an-210n-2 + ··· + a110 + a0 =
Que lo podemos escribir en la forma:
n = 1000 (an10n-2+ an-110n-3 + … + a3) + a2103+a110 + a0
Como 1000= 23·53, n= 100 (an10n-1+ an-110n-2 + … + a310 + a2) será múltiplo de 8
Por tanto, para que n sea múltiplo y, por tanto, divisible por 8, (a2a1a0 )10 = (a2100+ a110 + a0 ) debe ser múltiplo de 8
CRITERIO GENERAL: Un número es divisible por 2r cuando las r últimas cifras forman un múltiplo de 2r.
TRES CUESTIONES ELEMENTALES
PRIMERA Si se forma un número de seis cifras escribiendo consecutivamente un múltiplo ocho de tres cifras, que no sea múltiplo de 16, ¿el número resultante es múltiplo de dieciséis?
Respuesta: Si el número de tres cifras múltiplo de 8 es (abc)10 el número que formemos a partir de él será: (abcabc)10
(abcabc)10 = 1000·(abc)10 + (abc)10 = 1001·(abc)10 = 7·11·13·(abc)10, no será múltiplo de 16, ya que 1001 es impar
SEGUNDA Si se forma un número de nueve cifras escribiendo consecutivamente un múltiplo ocho de tres cifras, que no sea múltiplo de 16, ¿el número resultante es múltiplo de 24?
Respuesta: Si el número de tres cifras múltiplo de 8 es (abc)10 el número que formemos a partir de él será: (abcabcabc)10
(abcabcabc)10 = 1000000·(abc)10 + 1000·(abc)10 + (abc)10 = 1001001·abc = 3·333667·(abc)10
Como 1001001 = 3·333667 aporta el factor 3 y (abc)10 es múltiplo de 8, (abcabcabc)10 es múltiplo de 24.
¿Si lo repitiéramos seis veces?
(abcabcabcabcabcabc)10 = 1001001001001001·(abc)10 = 23·3·72·11·13·(abc)10 también sería múltiplo de 24, (y de 24·8 =192)
TERCERA Si se forma un número de doce cifras escribiendo consecutivamente un múltiplo ocho de tres cifras, que no sea múltiplo de 16 ¿el número resultante es múltiplo de 24?
Respuesta:
(abcabcabcabc)10 = 1.000.000.000· (abc)10 + 1.000.000· (abc)10 + 1000· (abc)10 + (abc)10 =
= 109·(abc)10 + 106·(abc)10 + 103·(abc)10 + (abc)10 = 1001001001·(abc)10 = 7·11·13·101·9901·(abc)10 .
Luego (abcabcabcabc)10 no es múltiplo de 24
