Problema1. El número 190 en base 10 equivale 276(n en base n. Hallar n
Solución: 276(n= 2n2+7n+6 =190 ⇒ 2n2+7n-184 =0 ⇒ n=-23/2 y n =8
Problema 2. Demostrar que los números 2(n-1) y (n-1)2 están escritos por las mismas cifras, pero en orden inverso, en cualquier sistema de numeración de base n > 2 .
Solución: En el sistema de numeración de un numero en base n, 2n se escribe 20 .
2(n-1) = 2n-2 =n+n-2 = 1(n-2)(n
(n-1)2=n2-2n+1 = n(n-2)+1 = (n-2)n+1 = (n-2)1 (n
Problema 3 .- Demostrar que el número 10101 es divisible por 111 cualquiera que sean las bases en que estén escritos.
Solución: 10101(n= n4 + n2 +1 y 111(n= n2 + n +1
El número n2 – n +1 = n(n-1)+1 = (n-1)n+1 =(n-1)1(n
Problema 4,- Sumar los números 4321 (5 y 3242 (5 y expresa el resultado en base 10.
Solución: 4321 (5 + 3242 (5 = 13113(5
13113(5 = 54+3·53+52+5 +3 = 625+375+25+5+3 = 1033
Problema 5.- ¿En qué sistema de numeración los números 123, 140 y 156 forman progresión aritmética? Calcula la razón de la progresión
Solución: 156(n -140(n = 140(n -123(n ⇒ n2+5n+6 –(n2+4n) = n2+4n – (n2+2n+3) ⇒
⇒ n+6 = 2n-3 ⇒ n =9
La razón de la progresión será 140(9 -123(9 = 16(9 = 15(10
Problema 6.- Escribir 34250(6 en base 4.
Solución: Pasamos a base 10: 34250(6 = 3·64+4·63+2·62+5·6 = 4854(10
4854 =1213·4+2 1213=303·4+1 303= 75·4 +3 75 = 18·4+3 18 = 4·4 +2 4 =4·1+0
Luego: 34250(6 = 4854(10 = 1023312(4
Problema 7.- Un número N tiene 7 cifras en base 3 ¿Cuántas cifras como máximo puede tener en el sistema decimal?
Solución: En base 3 el mayor número de siete cifras será 2222222(3.
2·36 +2·35 + 2·34 +2·33 +2·32 +2·3 +2 = 2186(10
Problema 8.- Demostrar que 1234321 es un cuadrado en cualquier sistema de numeración cuya basa sea mayor que 4 y que la raíz cuadrada siempre estará expresado por cuatro cifras iguales.
Solución: 1234321(n = n6 +2· n5 + 3· n4 +4· n3 +3· n2 +2·n +1 = (n3 +n2 + n +1)2= (1111(n)2
