Actualmente estamos de acuerdo en que la ciencia y el conocimiento humano tienen un fundamento matemático. En este artículo vamos a describir que no siempre este acuerdo se ha mostrado con la misma intensidad y que, además las matemáticas no empezaron siendo un lenguaje que estaba perfectamente preparado para adaptarse a la descripción de los fenómenos naturales. Aquí consideraremos las matemáticas como un lenguaje que ha ido evolucionando y a medida que se adaptaba a la física cambiaba y se hacía más cómodo su uso.
Es cierto que Pitágoras (582-500 a.C.) descubrió en la sucesión de los números naturales las relaciones que guardaban entre si los sonidos consonantes: (octava (2:1), quinta (3:2), cuartas (4:3)), También en su escuela se descubrió la relación que guardaban los lados de un triángulo rectángulo (a2 = b2 + c2), conocida como teorema de Pitágoras.
También que Arquímedes (214-212 a. C.) realizó importantes aportaciones a la hidrostática con el conocido Principio de Arquímedes: todo cuerpo sumergido total o parcialmente sumergido en un fluido recibe un empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado. Esta fuerza se explica por la diferencia de presión a diferentes profundidades sobre el cuerpo, es mayor en la parte inferior del cuerpo que en la parte superior. Por lo tanto, el cuerpo flota, más o menos, de acuerdo con la fuerza resultante.
El siracusano formuló la ley de la palanca que la podríamos expresar con una proporción: dos cuerpos se equilibran a distancias (al punto de apoyo) inversamente proporcionales a sus pesos. Arquímedes estudió el funcionamiento de las máquinas y en su libro El equilibrio de las figuras planas calculó el centro de gravedad de las figuras y, por sus trabajos, se le considera el padre de la mecánica estática.
Los teoremas de Arquímedes eran tan brillantes, profundos y novedosos que cuando, en el siglo XVI, empezó a conocerse la obra de Arquímedes, sus resultados despertaron tal admiración que muchos matemáticos se asombraban tanto, que se preguntaban si no habría utilizado un método especial con el que llegar a semejantes resultados. Se conocían las demostraciones, que las presentaba dentro del método euclidiano, pero, ¿cómo lograba establecer las hipótesis de trabajo y otros recursos que luego empleaba en sus demostraciones?
La respuesta se tuvo en 1906 cuando apareció una obra de Arquímedes desconocida oculta en un palimpsesto en la que explicaba su método. El libro se conoce como El Método y se lo envió a Eratóstenes a la Biblioteca de Alejandría y decía en el preámbulo:
Reconociendo, como digo, tu celo y tu excelente dominio en materia de filosofía, amén de que sabes apreciar, llega-do el caso, la investigación de cuestiones matemáticas, he creído oportuno confiarte por escrito, y explicar en este mismo libro, las características propias de un método según el cual te será posible abordar la investigación de ciertas cuestiones matemáticas por medio de la mecánica. Algo que por lo demás, estoy convencido, no es en absoluto menos útil en orden a la demostración de los teoremas mismos. Pues algunos de los que primero se me hicieron patentes por la mecánica, recibieron luego demostración por geometría, habida cuenta de que la investigación por ese método queda lejos de una demostración; como que es más fácil construir la demostración después de haber adquirido por ese método cierto conocimiento de los problemas, que buscarla sin la menor idea al respecto…
La obra establecía un puente ente la estática y las matemáticas a través del cual las matemáticas se inspiraban en el mundo físico. El siracusano estudió además la espiral (lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo (polo) es proporcional a su ángulo polar, r = k θ) . Y demostró que su área era igual a un tercio del círculo que la contenía. En el tratado Sobre la esfera y el cilindro demostró que el volumen de una bola contenida en un cilindro cuando la bola era tangente al cilindro en su superficie lateral y en las dos bases era igual a 2/3 del volumen del cilindro. La relación entre las áreas y los volúmenes de la esfera y del cilindro fue tan importante para Arquímedes que pidió que las figuras fueran grabadas en su tumba.
En los restantes tratados, Arquímedes demuestra importantes resultados sobre el cálculo de áreas, volúmenes y centros de gravedad, que actualmente se obtienen mediante el cálculo integral. Como su demostración de que el área de un segmento de parábola es 4/3 del mayor triángulo inscrito que tiene la misma base que el segmento y un vértice en la parábola. Arquímedes demostró este teorema utilizando el método de exhaución.
Arquímedes figura en la lista de los matemáticos más brillantes, prolíficos y admirados de la historia de las matemáticas. En pleno siglo XX, el matemático G.Hardy (1877-1947) en su obra Apología de un matemático dice:
Las matemáticas griegas perdurarán más incluso que la literatura griega. Arquímedes será recordado cuando Esquilo haya sido olvidado, porque las lenguas mueren y las matemáticas no.
Otro matemático, Diofanto de Alejandría (f. 284) en su obra Aritmética introdujo un tipo de lenguaje algebraico en el que combinaba el enfoque sincopado, mezclado con abreviaturas y símbolos con el representaba, operaciones, matemáticas, expresiones y proposiciones, incógnitas y las potencias, lo que permitía resolver ecuaciones y problemas complejos.
A Diofanto se le considera el padre a la aritmética y del álgebra y su obra fue apreciada y fuente de inspiración en el siglo XVII por matemáticos como P. Fermat (1601-1665), pero, hasta entonces su obra tuvo escasa influencia en su aplicación a la ciencia, por motivos como que era lenguaje sincopado de la aritmética de Diofanto era desestructurado contrario al modelo axiomático-deductivo de la geometría griega, que era el modelo, y era de difícil adaptación. Además, el álgebra en ese estado de evolución no estaba suficientemente elaborado ni era no era un lenguaje útil para la ciencia.
Por otra parte, en la física aristotélica, que era la traducción de la visión estructurada de lo que era el mundo para Aristóteles y sus seguidores, había una premisa a priori de que el número no formaba parte de la esencia de la physis y que, por tanto, emplear las matemáticas para profundizar en la esencia de a física no tenía sentido. Además, la física aristotélica postulaba que cada cuerpo tendía a ocupar el lugar que le correspondía por naturaleza; pensaban todo movimiento natural procedía de una fuerza motriz, algo parecido a un motor interno que los impulsaba hacia arriba (aire), si eran cuerpos ligeros o los impulsaba hacia abajo si eran pesados (tierra). Otros movimientos de cuerpos procederían de fuerzas o motores externos. Con estos supuestos Aristóteles afirmaba que, en ausencia del aire, la velocidad de caída libre de los cuerpos, aun siendo de la misma materia, era proporcional a sus pesos; los más pesados caían con mayor velocidad que los más ligeros.
Pero esto llevaba a una contradicción hasta dentro de la propia teoría aristotélica y fue motivo de muchas especulaciones en la Edad Media
La tesis de Aristóteles era contraria a la experiencia y contraria a la lógica, ya que, al dejar caer dos cuerpos, A y B, que parten del reposo. Si el peso de A es mayor el de B, por el supuesto de Aristóteles, A caería con mayor velocidad que B. pero si los pegamos y creamos un nuevo cuerpo, A+B, de peso la suma de los dos, que caerá con mayor velocidad que A y que B.
Pero, incluso atados, ambos cuerpos siguen siendo los mismos, por tanto, en la caída del cuerpo, A tira de B, lo significa que una parte de la fuerza que hace descender a A (parte de su peso) se utiliza para tirar de B, lo que disminuye la velocidad de A e incrementa la de B, por lo que A y B atados caen a menor velocidad que la que llevaría A suelto.
Las especulaciones escolásticas también se ocuparon de tratar el problema del movimiento y de las velocidades. Esto es lo que hicieron los calculadores del Merton de Oxford, estudiando la variación de las formas abstractas.
El problema de la variación de las formas puede presentarse de la siguiente manera: ciertas cualidades o formas tales como el amor, la alegría o la devoción aumentan o disminuyen su intensidad (se ama más o menos). La noción de intensidad está presente, con más o menos claridad, tras la de variación cualitativa; aquí nos interesa destacar que hay cualidades físicas, como el calor y la velocidad que son formas. Atendiendo los mertonianos elaboraron un determinado número de conceptos expresados por un vocabulario especial: J. Dumbleton (1310-1349) fue uno de los primeros en pensar en ello. El método consiste esencialmente en lo siguiente: se trazan dos ejes rectangulares, uno de los cuales (la abscisa) se llamará longitud y el otro (la ordenada) latitud. De este modo es posible representar, por ejemplo, la variación de una velocidad: la longitud corresponde al tiempo; la latitud a la intensidad de esa velocidad.
Debemos notar que no se trataba de una primera aparición de la geometría analítica. Lo que se intentaba era dar una representación intuitiva (y, seguramente pedagógica) de una forma cualitativa, sin pensar hacer corresponder a una curva una ecuación y sin expresiones numéricas El aumento de la cualidad era simplemente hecho visible bajo el aspecto de una línea, que permite formar un razonamiento geométrico cuyos principales términos eran los siguientes: latitudino o, conjunto de grados o niveles de una forma que aumenta disminuye o permanece estable;
Más aún, se apreció que la latitud podía ser constante o uniforme y variada o disforme. Lo disforme podía ser uniformemente disforme (o uniformemente acelerado) y disformemente disforme.
Th Bradwardine (1290-1349), propuso una nueva regla de movimiento y dio un paso más (que no dio) que exigía el empleo de matemáticas para la física:
Todo movimiento sucesivo puede ser puesto en proporción a otro. Por lo cual, la filosofía natural, que trata del movimiento, no debe ignorar la proporción de los movimientos y de las velocidades en los movimientos.
Esta posibilidad de comparar dos movimientos propició el descubrimiento en la primera mitad del siglo XIV del teorema de la velocidad media, conocida como Regla Mertoniana, que fue el mayor éxito intelectual de los calculatores de Merton College y que sería, demostrado por Nicole d’Oresme (1335-1382), en la universidad de París, siguiendo la geometría de Euclides
El teorema afirma lo siguiente: “Un cuerpo en movimiento uniformemente acelerado recorre, en un determinado intervalo de tiempo, el mismo espacio que sería recorrido por un cuerpo que se desplazara con velocidad constante e igual a la velocidad media del primero”.
Llamamos movimiento igual o uniforme a aquel que los espacios recorridos en tiempos iguales, cualesquiera que estos, son iguales entre si.
La famosa Regla Mertoniana o teorema de la velocidad media es considerada como la más simple y primordial contribución a la física por parte de la ciencia medieval. Aunque que babía una tendencia entre los pensadores de la baja Edad Media a utilizar las matemáticas en sus estudios, prevaleció el principio aristotélico de no mezclar los géneros de la física y las matemáticas; los estudios sobre la variación de las formas eran, más que nada ejercicios lógicos, y no lo aplicaron para interpretar ningún fenómeno físico en particular.
La finalidad de estas representaciones era explicar mejor al dogma cristiano y darle una estructura racional. En realidad formaba parte de la empresa principal de la filosofía escolástica; poner la filosofía al servicio de la sagrada teología.
La importancia de regla mertoniana de la velocidad media radica en el hecho de que si se estudia la caída libre de un cuerpo (movimiento en la naturaleza) como un movimiento uniformemente acelerado, se obtiene la ley de la caída libre de los cuerpos. El paso de la especulación al mundo real no se dio en el siglo XIV. El salto de aplicar estos estudios puramente especulativos a fenómenos naturales lo dio Galileo en el siglo XVII
Un enunciado de este teorema es el siguiente, siguiendo N. de Oresme las proposiciones el libro II de los Elementos de Euclides:
Un cuerpo que se mueve uniformemente adquiriendo o perdiendo un determinado incremento [de rapidez] recorrerá en un tiempo dado la misma distancia que debería recorrer si se estuviera moviendo con rapidez uniforme durante el mismo tiempo con el grado medio [de velocidad].”
La demostración que dioel monje francés fue la siguiente:
Una cualidad lineal disforme [uniformente disforme] se puede representar por un triángulo ABC que es uniformemente disforme y termina en grado nulo en el punto B y sea D el punto medio de la línea longitud.
El grado de intensidad de la cualidad en D viene dado por la línea DE. Por tanto, la cualidad que sea uniforme a lo largo de todo el tramo según el grado DE, es representable por el rectángulo AFGB. Evidentemente, los dos triángulos pequeños EFC y EGB son iguales. Por tanto, el triángulo mayor BAC que representa la cualidad uniformemente disforme y el rectángulo AFGB que representa la cualidad uniforme son iguales. En consecuencia, las cualidades representadas por un triángulo y un cuadrángulo de este tipo son iguales. Y esto es lo que se quería demostrar.
Galileo fue el encargado de dar el salto que nos llevó a la física moderna
