Las matemáticas del siglo XVIII estuvieron estrechamente conectadas con la evolución de las Ciencias Naturales. M. Kline en su obra El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días lo calificaba de Siglo Heroico, que se caracterizaba por una gran producción matemática, con aparición de nuevas ramas llenas de resultados matemáticos potentes que tuvieron un gran éxito en la capacidad de predicción en la Ciencia, pero que, al mismo tiempo, las Matemáticas estaban sumidas en un marasmo lógico en sus fundamentos y era necesario darles un rigor lógico.
Una de las ramas de las Matemáticas con deficiente fundamentación era la Aritmética. La propia noción de número había sido reformulada a lo largo de la historia. Para los griegos los números eran reunión de unidades y sólo eran números los números naturales; y, aunque los Pitagóricos consideraron las razones entre números enteros, el descubrimiento de que √2 no fuera expresable en forma de fracción les hizo considerar que la Geometría, formulada en forma axiomática, era una ciencia más completa, general y fiable que la Aritmética. En la Aritmética griega se manifestó en términos de números figurados (triangulares, cuadrados, pentagonales, etc.) más que aspecto operativo.
Con la matemática árabe y la aparición del sistema de numeración posicional se elaboraron algoritmos y, con la práctica del cálculo numérico y la resolución de ecuaciones, entre las soluciones de las ecuaciones que se planteaban para resolver problemas concretos, emergieron números negativos, racionales, irracionales y complejos (cuando se esperaba que se encontraran soluciones positivas) y había que dar sentido y justificación esas apariciones.
S. Stevin (1548-1620) definió número como aquello mediante lo que se explica la magnitud de alguna cosa. En esa línea se manifiestó I. Newton(1643-1727) en Aritmética Universalis (1707) cuando escribió: Entendemos por número no tanto una multitud de unidades, cuando la razón entre una cantidad abstracta cualquiera y otra del mismo género que se toma por unidad.
En ambos latía la idea de que el número era el resultado de medir una magnitud, por lo tanto, se esperaba que los números fueran números positivos, con cierta sospecha para los números irracionales, pero con dudas y muchas reservas sobre que los números negativos e imaginarios que, aunque útiles en el cálculo, fueran realmente números. Realmente se preguntaban cuáles eran las magnitudes que medían, además presentaban algunas paradojas lógicas.
En los números enteros se presentaban paradojas como la siguiente contradicción: 1 > -1 ⇒ -1 > 1,
ya que, como evidentemente 1 > -1 (tener algo es más que deber cualquier cosa), por tanto, 1/(-1) > 1 (ya que dividimos un número entre otro menor), por lo tanto (regla de los signos) ⇒ -1 > 1, que es una contradicción .
Igualmente, entre los nuevos números aparecía i, al que no se le podía aplicar la fórmula de multiplicación de radicales; i es un nuevo número que, es cuadrado y debe ser positivo si operamos según las reglas que tiene los radicales:
i2 = √ (-1)·√(-1) = √1 = 1
y sin embargo es i2 = -1. Los números complejos no representan una magnitud clásica ya que no estaban ordenados.
Estudiando las soluciones de las ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros se relacionaron los números enteros con números negativos, racionales, irracionales y hasta con los números complejos, pero estas soluciones que aparecían ¿eran números? Es evidente, que estaban relacionadas; en el libro III de la Geometría de R. Descartes (1596-1650), cuando estudió el número de raíces de una ecuación algebraica demostró cómo se transformaban las raíces falsas (negativas) en verdaderas (positivas) mediante un cambio de variable, lo que, de alguna forma, apoyaba la íntima relación entre las raíces positivas y las negativas.
Las operaciones establecían relaciones entre los diferentes tipos de números y, aunque no estuvieran fundamentadas y lógicamente, el pragmatismo imponía que los números habían de ser aceptados por su función práctica.
La justificación lógica de la Aritmética, las propiedades de las operaciones de los números naturales se extendían a los diferentes tipos de números por el simple hecho de que proporcionaban resultados correctos. En el Algebra las letras se utilizaban para representar todo tipo de números y se manejaban extendiendo las propiedades operativas de los números enteros y proporcionaban resultados correctos de acuerdo con lo esperable en el mundo físico.
Parecía que el Álgebra de las expresiones algebraicas tenía una lógica interna que explicaba su efectividad. G. Peacock (1791-1858) justificó esta concordancia con un postulado apriorístico conocido como principio de las formas equivalentes, que venía a decir que los resultados eran empíricamente correctos, pero sin ningún fundamento lógico.
El trabajo de justificar la extensión de las operaciones de los números naturales al conjunto de los números enteros, por ejemplo, iba a consistir en construir un conjunto equivalente al de los números enteros y definir las operaciones de suma y producto de números en este conjunto a partir de las operaciones entre números naturales. Este trabajo lo realizó R. Dedekind (1831-1916) [Dedekind también extendió las operaciones de los enteros positivos a los racionales, y la construcción de los números reales por Cortaduras]
Según recoge José Ferreirós en el excelente prólogo introductorio a la obra de Dedekind ¿qué son y para qué sirven los números? , la inspiración le llegó a Dedekind tras la lectura de la obra de W. R. Hamilton (1805-1865) Lectures on Quaternions (1857) en la que fundamentaba las operaciones con números complejos a partir de las operaciones con pares de números reales (otra cosa es que las operaciones con números reales no estuvieran bien fundamentadas desde el punto de vista lógico a partir de la propiedades de los números naturales.
Hamilton representaba los números complejos como pares ordenados:
Así (a + bi) era (a, b) y Los números reales serán los pares (a,0) y cumplenlas siguientes propiedades:
Igualdad: Dos pares serán iguales (a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d
Suma: (definida mediante las operaciones con números reales)
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y
Producto: (a, b)·(c, d) = (ac – bd, ad + bc)
La unidad imaginaria: i = (0,1), ya que (0,1)2 = (0,1)·(0,1) =(0·0-1·1, 1·0+0·1) = (-1,0) = -1
Dedekind consideró que los enteros provenían de las sumas y diferencias de números naturales. Si consideramos el número entero x como la diferencia de dos números naturales a – b. con a, b є N, podemos asociar a x el conjunto de los pares (a, b) tales que x = a – b. Es fácil darse cuenta de que dos pares
Igualdad: (a, b) y (c, d) dan lugar al mismo número entero x si a – b = c − d, o lo que es lo mismo, si a + d = b + c, esta relación no involucra a enteros, sino sólo a naturales y operaciones entre ellos.
El conjunto de todos los pares (x, y) relacionados con (a, b), es decir, aquellos que cumplen a + y = b + x, se llama clase de equivalencia del par (a, b) y se designa [a, b], que es la misma que [a−b, 0] (si a es mayor que b) o que [0, b−a] (si b es mayor que a).
Es decir, (m,0) m є N es el entero positivo que representa a la clase [m+x, x] y (0, n) n є N es el entero negativo que representa a la clase [x, x+n]
Definimos suma: (a, b) + (c, d) = (a + c, b +d)
Definimos Producto (a, b) · (c, d) = (ac + bd, bc + ad)
Puede verse que los representantes de la clase de equivalencia cumplen la regla de los signos:
(m,0)·(n,0) = (mn,0) ⇒ (+m)(+n) = +(mn, 0)
(m,0)·(0,n) = (0,mn) ⇒ (+m)(-n) = -(mn, 0)
(0,m)·(n,0) = (0,mn) ⇒ (-m)(+n) = -(mn, 0)
(0,m)·(0, n) = (mn,0) ⇒ (-m)(-n) = +(mn, 0)
De forma similar, Dedekind extendió las operaciones para números racionales y, por medio de Cortaduras, para salvar la dificultad del continuo numérico, proporcionó una base lógica a los números reales.
