Con anterioridad al siglo XVI las Matemáticas apenas habían tenido importancia en el desarrollo de las ciencias físicas. Las matemáticas se habían aplicado a la Astronomía a la música, pero la aparición de la Ciencia Moderna convirtió a las matemáticas en su lenguaje (La naturaleza era un libro escrito en lenguaje matemático), pero, a la vez, la relación entre la física y las Matemáticas produjo una profunda transformación en las Matemáticas. Sin entrar en pormenores, se puede observar que, a fínales del siglo XVII, la Geometría de Euclides dejó de ser la protagonista indiscutible de las Matemáticas y que además adquirieron fuerza unas ramas que habían sido relegadas y aparecieron otras nuevas disciplinas matemáticas que crecieron paralelamente al estudio de las Ciencias Naturales y se convirtieron en el lenguaje de la ciencia.
A lo largo de los siglos XVII y XVIII las Matemáticas se adaptaron de tal manera al estudio de los problemas físicos que se llegó a denominar Matemáticas, a la Estática, a la Dinámica a la Hidrodinámica y a cualquier disciplina que hiciera uso de las Matemáticas. Esto se puede observar en los libros de texto del siglo XVIII. El contenido los libros de texto, que solían tener el nombre de Elementos de Matemáticas, estaba dividido en dos grupos: las Matemáticas Puras y las Matemáticas Mixtas. Las Puras comprendían la Geometría euclidiana, la Aritmética, el Álgebra, la Aplicación del Álgebra a la Geometría (Geometría Analítica) y el Cálculo Sublime o Cálculo Infinitesimal. Las Matemáticas Mixtas estaban formadas por la Mecánica, la Estática o Equilibrio de Máquinas, Hidrodinámica, Astronomía y Arquitectura Civil.
No obstante, fue la Geometría la que dio nombre a los matemáticos y a los físicos hasta bien entrado el siglo XIX. Los científicos que aplicaron las Matemáticas al estudio de la naturaleza en el camino iniciado abierto por I. Newton (1643-1727) recibieron el nombre de geómetras, tal y como lo hace F. Arago (1786-1853), Secretario de la
Academia de Ciencias de París, en el elogio realizado en 1842 por los académicos fallecidos:
“Cinco geómetras, Clairaut, Euler, D’Alembert, Lagrange y Laplace, se repartieron el mundo cuya existencia había revelado Newton. Ellos investigaron lo mismo en todas las direcciones, se internaron en regiones que se tenían por inaccesibles y proporcionaron numerosos descubrimientos que no se percibían por la simple observación. Lograron por último y a ello deben su fama imperecedera, aunar en un único principio, en una única ley, los fenómenos más recónditos y mejor guardados del movimiento celeste. La geometría tuvo la audacia de disponer del futuro; y el curso de los siglos confirma invariablemente los principios de la ciencia” (Cfr:H.Wussing Lecciones de Historia de las Matemáticas, p. 176)
¿Por qué y en qué sentido pudo llamar Aragó geómetras a A. Clairaut (1713-1765), L. Euler(1707-1783), J. D’Alembert (1717-1783) , J.L.Lagrange (1736-1813) y P.S. Laplace (1749-1827), cinco de los más importantes científicos del siglo XVIII?. En primer lugar, no fueron geómetras en el sentido griego del término; los cinco partían de la Geometría Analítica de R. Descartes y P. Fermat, que habían utilizado el Álgebra para resolver problemas geométricos. Era precisamente la Geometría la que proporcionaba cobertura lógica a la nueva matemática, ya que era una disciplina consolidada desde hacía siglos, la cual, con su método axiomático riguroso, estaba en la base de una colección de reglas de cálculo y de manejo de nuevos elementos, como números complejos, series infinitas o infinitésimos. Por otra parte, la aceptación y defensa de la nueva Matemática se basaba fundamentalmente en que describía y hacía predicciones correctas en la evolución de los fenómenos del mundo físico.
En el siglo XVIII a las reglas operativas del Cálculo Infinitesimal fueron consideradas (siguiendo las ideas de Leibniz) una extensión de las reglas algebraicas, en suma, una generalización del Álgebra. A finales de siglo se limitó el término Análisis a las Matemáticas basadas en Cálculo Infinitesimal. Pero, aunque las Matemáticas que se utilizaban para el estudio de la ciencia eran los recursos del Álgebra: Series Infinitas, Cálculo Infinitesimal, Cálculo de Variaciones etc, no se olvidaba el origen y fundamento de los diferentes procedimientos, que era la Geometría Euclidiana, y, seguramente, por esa razón, a los que estudiaban la naturaleza con los métodos algebraicos, el Cálculo Infinitesimal, Cálculo de Variaciones o series infinitas se les denominaba geómetras.
También pudo tener influencia en esa denominación que la publicación de los Principia (1687) de Newton. La Mecánica de Newton, aunque fue escrita en el lenguaje de la geometría euclidiana, a lo largo del siglo XVIII en manos de los matemáticos continentales se transformó en una Ciencia Analítica, expresada en términos de Cálculo Infinitesimal.
A medida que el método de coordenadas y el Álgebra se fueron extendiendo a otros campos de la Física y de las Matemáticas, los métodos y el rigor que proporcionaba el método geométrico fue atenuando, a la vez que llamaba Análisis a los diferentes métodos derivados del Álgebra.
En este cambio en el lenguaje de la Ciencia (la Mecánica) de la Geometría al lenguaje del Análisis señalaremos tres etapas. La primera derivada de la obra de G. W. Leibniz (1646-1716) que En 1684 publicó las bases de su Cálculo Diferencial en La Revista de Liepzig Acta Eruditorum, en su artículo Nuevos Métodos para Máximos y Mínimos y para las Tangentes y en 1686 publicó en la misma revista De Geometría Recondita et Analysi Indivisibilium atque Infinitorum” donde y mostraba que la diferenciación y la integración eran operaciones (algebraicas) recíprocas y trataba el problema inverso de las tangentes y el cálculo de las cuadraturas mediante su nuevo método. Aunque en los Principia de Newton aparecieron en 1687, y en ella el manejo con infinitésimos se hace more geométrica y se reduce a las Primeras y Últimas Razones, hay pruebas de que Newton había descubierto lo que se conoce como Teorema Fundamental del Cálculo integral en 1671. Aunque Newton llegó al resultado partiendo de conceptos fiscos de (fluxiones y fluyentes) y para Leibniz el resultado no era una extensión natural de las leyes del Álgebra. Esta demora en aparecer la obra de Newton generó la polémica con Leibniz.
La segunda etapa estuvo protagonizada por L. Euler (1707-1783) que en su obra Mecánica, sive motus scientis, analytice exposita (1736) expresó (y realizó algo más) la Mecánica Naetoniana en el lenguaje del Analisis. El libro era un tratado de la Mecánica del punto material, en el que, por primera vez, se precisaron matemáticamente los conceptos de masa puntual y aceleración. Finalmente, en 1747, en las Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlín, Euler publicó la expresión analítica de la ley fundamental de la mecánica newtoniana. La tarea de aplicar el análisis a la física fue completada por D. Bernoulli (1700-1782) que publicó en 1738 su Hidrodinámica y su padre J. Bernouilli (1667-1748) con su tratado de Hidráulica (1742).
Finalmente, la expresión analítica de la Física llevada a cabo en el siglo XVIII culminó con los trabajos de J.L. Lagrange (1736-1813) en su Tratado de Mecánica Analítica (1788) y la Mecánica Celeste (1799-1825) de P. S. Laplace (1749-1827). En estas obras los principios de conservación, junto con los principios de mínimo, se convertirían en la base fundamental de la Mecánica, desplazando la Mecánica newtoniana reformulada por Euler y comenzando línea de desarrollo de la física del siglo XIX, que acabaría en lo que conocemos como Mecánica Clásica.
Pero las reglas del conocimiento científico decían que había que obtenerlo partiendo de la realidad, pero utilizando una lógica sin contradicciones. Eso parecía ocurrir en los comienzos de los estudios de Mecánica de Newton en la que su soporte lógico era la Geometría Euclidiana cuya validez lógica era reconocida y aceptada, pero a medida que los estudios de física avanzaban y el Análisis se aplicaba a más parcelas de la realidad y la validez lógica de los procedimientos se basaba, casi únicamente en la concordancia de los resultados y predicciones aportados por teoría con la realidad de los hechos observados. Y para muchos científicos que se movían en el terreno de las inconcreciones conceptuales, tenía que seguir el consejo de D’Alembert, que, convencido de la validez del método analítico de la Física por los excelentes resultados que se obtenía con él, aconsejaba: Persiste y te llegará la fe.
Los cimientos matemáticos que soportaban el lenguaje de Ciencia eran no eran firmes. Pronto surgieron paradojas lógicas: G. Berkeley (1685-1756) presentó las primeras paradojas derivadas del uso de infinitésimos. Pero el concepto que se mostró como fundamental era el de función, aunque en el siglo XVIII nadie lo considerara un problema, entre otros motivos porque Newton trabajó integrando y derivando funciones expresadas en forma de series infinitas de potencias de la variable x. Trabajó con el desarrollo en serie del log (1+x) del sen x, del cos x de la tg x etc. Y asoció el concepto de función al de curva o la trayectoria de un punto en movimiento. Con lo cual las funciones eran consideradas continuas porque las partículas tenían trayectorias sin saltos y además para ser desarrollables en serie derivables. De alguna forma había metido el infinito en las matemáticas. Además, atribuyó las mismas propiedades a las sumas finitas que a las finitas:
Todo lo que el análisis común, (el álgebra) realiza por medio de ecuaciones de un número finito de términos, este nuevo análisis puede realizar lo mismo en todos los casos, por medio de ecuaciones infinitas (series), de tal forma que no he tenido ninguna duda en darle asimismo el nombre de análisis. Porque el razonamiento en éste no es menos cierto que en el otro; ni las ecuaciones menos exactas; aunque nosotros los mortales, cuyo poder de razonamiento está confinado dentro de estrechos límites, no podemos expresar ni concebir todos los términos de esas ecuaciones como para conocer exactamente de ellas las cantidades que deseamos.
Para Newton las series infinitas no eran más que una parte del álgebra superior que trataba un número infinito de términos. Lagrange, en una de sus depresiones, nada más terminar de escribir la Mecánica Analítica (1788) le escribió una carta a D’Alembert en la que le decía. “Comienzo a sentir que la presión de mi inercia aumenta poco a poco y no puedo decir lo que haré en la Matemática dentro de diez años. Me parece también que la mina es ya demasiado profunda, y a no ser que se descubran nuevas venas tendrá que ser abandonada”
Lagrange (1736-1813) consideraba que la Matemática había alcanzado la cima y se asomaba a un período de declive y que otras ciencias como la Química o la Física despertarían mayor interés entre los hombres de talento.
Quedaban dudas en el manejo de los infinitésimos, sobre el manejo de series convergentes y el propio concepto de convergencia el concepto de función, de función continua, si todas las funciones eran derivables …. D’Alembert en 1743 decía: hasta el momento … Habido más preocupación por ensanchar el edificio que por iluminar su entrada, por elevar su altura que por dar la medida fuerza los cimientos
Podríamos preguntarnos cómo supieron los matemáticos a donde debían dirigirse y a la vista de la tradición de demostraciones, como pudieron atreverse aplicar simplemente reglas y afirmar la fiabilidad de las conclusiones. Podemos afirmar que fue el significado físico de las matemáticas el que indico los pasos y, a menudo aportó argumentos parciales, para cubrir los pasos no matemáticos.
